Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана

Теорема (теорема Лорана) Если f(z) ÎC^¥(R ₂<| z - z ₀|< R ₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= .

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца: (R₂<|z-z₀|<R₁) и построим окружности C ₁ :|x- z ₀|= R' ₁ и C ₂: |x-z₀|= R '₂, с центром По формуле Коши для многосвязной области в силу аналитичности f(z), справедливо f(z)= = f ₁(z)+ f ₂(z)

Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на C ₁

,

где введено обозначение

, n >0.

На окружности C ₂:|x-z₀|= R '₂ выполняется неравенство . Поэтому, дробь
1/(x- z) можно представить в виде

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

,

где введено обозначение

Изменив направление интегрирования, получим:

, n >0

Подынтегральные функции в выражениях для c_n и c_-n являются аналитическими в круговом кольце R₂<|z-z₀|<R_1.. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение

, n =0,±1,±2,…

где C - произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R₂<|z-z₀|<R ₁ и содержащий точку z ₀ внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)= .

Т.к. z - произвольная точка внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ Þ ряд сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R₂<R'₂£|z-z₀|£R'₁<R₁ ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность разложения в ряд Лорана. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= , где хотя бы один коэффициент c'_n ¹ c_n. Тогда всюду внутри кольца R₂<|z-z₀|<R₁ имеет место равенство: =

Проведем окружность C_R, радиуса R: R ₂<R<R₁, с центром в точке z ₀. Тогда ряды и сходятся на C_R равномерно.

Умножим оба ряда на (z-z₀)^{- m-1}, где m - произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружности C_R.

Рассмотрим .

Т.о. для " m c'_m=c_m.

Примеры. Разложить в ряд Лорана с центром в

,

,