Кольцо сходимости ряда Лорана

Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесь z ₀ – фиксированная точка комплексной плоскости.

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.

Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией. Î C^¥(| z - z ₀|< R ₁).

Сделаем замену 1/(z - z ₀)=x; главная часть ряда Лорана принимает вид . По теореме Абеля такой ряд сходится при , что соответствует внешности круга .

При R ₂< R ₁ существует общая область сходимости - круговое кольцо R ₂<| z-z ₀|< R ₁.
Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля:

1. ÎC^¥(R ₂<| z - z ₀|< R ₁).

Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.

R ₁ определяется через { c _n}, n =0,1,2...,: R ₁=1/L₁, L₁= или L₁= , а R₂ - через {c _-n }, n=1,2...,: R₂= , или R₂= .

4. Коэффициенты ряда Лорана c _n через значения суммы ряда в точке z ₀ не определяются! В точке z ₀ сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

,

,

,