Общие сведения. Моделирование объекта с применением математического языка систем массового обслуживания (СМО) предусматривает в процессе формализации выделение понятий:

Моделирование объекта с применением математического языка систем массового обслуживания (СМО) предусматривает в процессе формализации выделение понятий: заявка (требование), поток заявок, прибор обслуживания, очередь на обслуживание, дисциплины выбора на обслуживание, закон обслуживания, поток обслуженных заявок, поток потерянных заявок.

Известна классификация, которая произведена, исходя из характеристик СМО. СМО классифицируют следующим образом [15 - 20]. По потокам заявок СМО делятся на СМО с однородным потоком и приоритетные СМО. По дисциплинам обслуживания СМО делятся на СМО с дисциплиной FIFO (первый пришел - первый обслуживается), СМО с дисциплиной LIFO (последний пришел - первый обслуживается), СМО со случайным выбором на обслуживание.

Исходя из того, каким временем на ожидание располагает заявка, СМО делятся на СМО с отказами, если эта величина времени ожидания равна нулю, смешанные СМО, если время ожидания является конечной величиной (СМО с ограниченной очередью), СМО с ожиданием, если время ожидания является бесконечной величиной (с бесконечной очередью).

По количеству и структурному расположению приборов обслуживания СМО делятся на одноканальные (рис. 7.1,а), n -канальные, если имеются n параллельно расположенных приборов (рис. 7.1,б), m -фазные СМО, если имеются последовательно расположенные m приборов (рис. 7.1,в), СМО смешанной структуры (рис. 7.1,г).

Рис. 7.1

Классификация может быть осуществлена, исходя из математических законов, описывающих математические модели потока входных заявок и времени обслуживания.

Моделирование систем с применением схем СМО предусматривает определение выходных параметров и параметров состояния, которые могут быть представлены как показатели эффективности СМО.

Моделью, описывающей функционирование системы, может служить описание времени задержки в системе. В виде моделей могут быть применены коэффициент использования СМО, вероятность того, что поступившая в СМО заявка застанет ее свободной от обслуживания, описание периода занятости системы, вероятность отказа на обслуживание, среднее число заявок в очереди, описание выходных потоков заявок, интегральные характеристики функционирования СМО.

Почему аппарат теории массового обслуживания широко применим при моделировании систем самого различного назначения?

Если это системы, связанные с обслуживанием клиентов, например в прачечной, химчистке, кассе и прочее, то здесь очевидно применение аппарата.

Моделями СМО адекватно моделируются процессы погрузки транспорта, стрельба по целям, передача информации по каналам связи, потоки транспортных средств, перевозка грузов, обработка деталей на станке и многие другие процессы функционирования разных систем.

Изготовление какого-либо изделия, состоящего из большого числа деталей, можно представить в виде модели СМО сложной структуры. Действительно, изготовление детали требует выполнение определенного множества последовательных операций на разных станках и, возможно, на разных производственных участках, например отливка, штамповка, а затем токарные операции. Все эти операции, выполняемые на разных станках разными рабочими, в результате позволяют представить структуру сложной СМО. Однако здесь при моделировании появляются математические сложности.

Математическую модель СМО в виде системы уравнений Эрланга [15 - 17], как наиболее простую аналитическую модель, можно получить при пуассоновском потоке заявок и экспоненциальном распределении времени обслуживания. Удобство пользования данной моделью ограничивается требованием стационарности процессов и отсутствием необходимости оценки изменения вероятностных характеристик во времени.

Если же перед исследователем ставится более сложная задача оценки таких критериев, как функции распределения вероятностей времени задержки, периода занятости, числа заявок в очереди.

Наиболее широко применяется описание математических моделей в виде характеристических функций, в частности, в виде преобразований Лапласа-Стильтьеса [18].

Модель времени задержки представима в виде интегро-дифференциального уравнения Линди-Такача-Севастьянова [18], причем в данной модели предполагается произвольный вид распределения времени обслуживания.

Однако при всей универсальности аппарата характеристических функций для применения его при описании моделей СМО, у него имеется один существенный недостаток, заключающийся в том, что получить реальные распределения действительного параметра времени далеко не всегда возможно. Это связано с тем, что не всегда существуют обратные преобразования Лапласа. При моделировании приоритетных СМО применяют математические модели, изложенные в работе [19]. Если же рассматривать сложные структуры СМО (многофазные, многоканальные, приоритетные), то получить математическую модель в виде аналитических зависимостей невозможно. Поэтому для исследования сложных структур СМО разрабатывают имитационные модели [20].

Для СМО приняты обозначения А/В/m/L, в которых:

- первая позиция А определяет функцию распределения входного потока заявок (интервала времени между поступающими заявками);

- вторая позиция В определяет функцию распределения закона обслуживания;

- третья позиция определяет m число каналов (приборов) обслуживания;

- четвертая позиция L определяет максимально допустимое число заявок в очереди на обслуживание.

Аналитические законы функций распределений имеют следующее общепризнанное кодированное обозначение:

- М – показательное распределение;

- E_r - распределение Эрланга r –го порядка;

- H_k - гиперпоказательное распределение порядка k;

- D - вырожденное распределение;

- G - произвольное распределение.