Аналитическое определение вероятностных автоматов

6.1.1. Формальное задание и классификация. Вероятностные автоматы (ВА) относятся к дискретно-стохастическому классу моделей. Данный тип моделей служит инструментом изучения динамических систем, имеющих стохастическую природу функционирования с дискретным временем. ВА является типичным представителем таких систем (probabilistic automat) и носит название P-схемы или P-автомата. В общем виде такой автомат является потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого может быть описано статистически.

Математический аппарат ВА применим для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также при решении различных задач синтеза. Аппарат ВА применяется также для моделирования дискретно-стохастических объектов, у которых подача входных параметров, изменение состояния и формирование выходных параметров осуществляется в дискретные моменты времени t_i (t₀,t₁,...,t_i…). Состояние объекта определяется через предшествующие состояния и входной параметр. Выходной параметр определяется через состояние в данном такте времени, состояние в предшествующем такте, а также через входной параметр.

Для формального описания ВА следует задать распределение начальных состояний, множество входных параметров Х={х₁,х₂,...,х_m}, множество состояний Z={z₁,z₂,...,z_n}, множество выходных параметров Y={y₁,y₂,...,y_r}. Элементы множества Х,Z,Y называют входным, внутренним и выходным алфавитом.

Определение. Вероятностным автоматом называется математическая схема, которая задается следующим набором [7,14]:

ВА=<Z,Y,Р₀,{Р(z_t,y_t/z_t-1,х_t)}>,

где Р₀ - распределение начальных состояний, Р₀=|| ||, - вероятность того, что в такте времени t₀ автомат будет находиться в состоянии z_i; Р=||Р(z_t,y_t/z_t-1,х_t)|| - стохастическая матрица, в которой Р(z_t,y_t/z_t-1,х_t)=Р{z(t)=z _t, y(t)=y_t/z(t-1)=z_t-1, х(t)=х_t} -условная вероятность того, что в такте времени t автомат будет в состоянии z _t, на выходе будет иметь параметр yt при условии, что в такте t-1 автомат был в состоянии zt-1, а на вход был подан параметр хt. При моделировании следует определить функции переходов и выходов. Функцию переходов задают в виде стохастической матрицы ||Р{z_t(t)=z(t)/z_t-1,х_t}||.

Функция выходов определяет выходные параметры и задается в виде стохастической матрицы ||Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )||, в которой Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )=Р{y(t)=y_t/z(t-1)=z_t-1,х(t)=х_t, z(t)=z _t }.

Определим условную вероятность Р(y _t /z_t-1,х_tz_t):

Р(z _t ,y_t/z_t-1,х_t)=Р(z _t /z_t-1,х_t)Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t ).

Просуммируем правую и левую части по всем значениям yi и получим

Сумма в правой части равна единице, так как это сумма вероятностей полной группы событий. Тогда вероятность Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t ) определится формулой

.

6.1.2. Классификация ВА. Классификация ВА зависит от способов определения вероятности Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t ) функции выходов и вероятности Р(y_t/z_t-1,х_t) функции переходов.

Вероятностный автомат называется автоматом первого рода, если функция выходов зависит только от предшествующего состояния и входного параметра в данном такте времени:

Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )=Р(y_t/z_t-1,х_t), (автомат Мили).

Вероятностный автомат называется автоматом второго рода, если функция выходов зависит только от состояния и входного параметра в данном такте времени:

Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )=Р(y_t/х_t,z _t ).

Вероятностный автомат называется правильным, если функция выходов зависит только от состояния в предшествующем такте и состояния в текущем такте времени:

Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )=Р(y_t/z_t-1,z _t ).

Существует правильный ВА первого рода, у которого

Р(y_t/z_t-1,х_t,z _t )=Р(y_t/z_t-1),

и правильный вероятностный автомат второго рода, у которого

Р(y_t,z_t-1,х_t,z _t )=Р(y_t/z _t), (автомат Мура).

Вероятностный автомат называется автоматом с детерминированной функцией перехода, если состояние в каждый такт времени однозначно определяется через предшествующее состояние и входной параметр:

Вероятностный автомат будет называться автоматом с детерминированной функцией выходов, если выходной параметр однозначно задается через предшествующее и текущее состояние и входной параметр:

Вероятностный автомат первого рода с детерминированной функцией переходов называется автоматом со случайными реакциями.

Вероятностный автомат первого рода с детерминированной функцией выходов называется марковским.

Правильный ВА второго рода с детерминированной функцией выходов называется автоматом с отмеченными состояниями. Каждому состоянию соответствует свой входной параметр. Причем, если у этого ВА стохастическое отображение элементов множества Z в элементы множества Y задается взаимно однозначно, то ВА называется абстрактным и для него достаточно рассматривать алфавит внутренних состояний. Абстрактный ВА задается в виде набора

ВА=<Х,Z,Р₀{Р(z _t /z_t-1,х_t}>.

Если мощность множества Z равна единице, то такой автомат называется автоматом без памяти.

Если мощность множества Х равна единице, то такой автомат называется автономным.

Автономный абстрактный ВА называется дискретной цепью Маркова и задается в следующем виде:

ВА=<Z,Р₀{Р(z_t/z_t-1)}>.