Доказательство приведением к противоречию. При построении выводов не всегда целесообразно ждать появления искомого заключения, просто применяя правила вывода

При построении выводов не всегда целесообразно ждать появления искомого заключения, просто применяя правила вывода. Именно такое часто случается, когда делается допущение В для доказательства импликации В→С. Применяем цепное правило и модус поненс к В и другим посылкам, чтобы в конце получить С. Однако можно пойти по неправильному пути, и тогда будет доказано много предложений, большинство из которых не имеют отношения к нашей цели. Этот метод носит название прямой волны и имеет тенденцию порождать лавину промежуточных результатов, если его запрограммировать для компьютера и не ограничить глубину.

Другая возможность- использовать одну из приведенных выше эквивалентностей и попытаться, например, доказать ~С→~В вместо В→С. Тогда допустим ~С и попробуем доказать ~В. Т.е. допускается, что заключение С (правая часть исходной импликации) неверно, и делается попытка опровергнуть посылку В. Это позволяет двигаться как бы назад от конца к началу, применяя правила так что старое заключение играет роль посылки. Такая организация поиска называется поиском от цели.

Можно использовать также комбинацию этих методов, называемую приведением к противоречию. В этом случае для доказательства В→С допускаем одновременно В и ~С, т.е. предполагаем, что заключение ложно:

~(В→C)=~(~B C)=В ~С.

Теперь можно двигаться и вперед от В, и назад от ~С Если С выводимо из В. то, допустив В, доказали бы С. Поэтому допустив С. получим противоречие. Если же мы выведем ~В из ~С, то тем самым получим противоречие с В. В общем случае мы можем действовать с обоих концов, выводя некоторое предложение Р, двигаясь вперед, и его отрицание ~Р, двигаясь назад. В случае удачи это доказывает, что посылки несовместимы, или противоречивы. Отсюда выводим, что дополнительная посылка (В ~С) должна быть ложна, а значит противоположное ей утверждение (В С) истинно.

Следует отметить, что если предложение В→С ложно, то никогда не получим противоречия, сколько бы ни рассуждали. При автоматизации поиска доказательства здесь снова возникает проблема, так как ЭВМ не может сказать, когда нужно остановиться.