Пример 1.2. Проверка наличия тренда

Определим наличие основной тенденции (тренда) по данным табл. 1.3 (рис. 1.2).

Таблица 1.3. Урожайность ячменя в одной из областей Среднего Поволжья, ц / га

Годы
я	14,1	9,3	19,4	19,7	5,4	24,2	13,8	24,5
Годы
Урожайность	14,7	16,6	5,6	16,2	25,3	11,9	18,5

Рис. 1.2. График урожайности ячменя

Решение

1. Делим исходный временной ряд на две примерно равные по числу уровней части: n ₁=7, n ₂ =8 (n ₁+ n ₂= n =15).

2. Для каждой из этих частей вычисляем средние значения:

,

= 15,13; = 16,66.

и дисперсии:

,

= 42,15; = 41,22.

3. Проверяем гипотезу о равенстве (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера. Для вычисления F-критерия большую дисперсию делят на меньшую:

F_расч = = 42,15 / 41,22= 1,022,

F_кр = (0,05; 6,7) =3,86.

Так как F _расч < F _кр (0,05; 6,7), то c вероятностью 95% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. По данным наблюдения дисперсии генеральных совокупностей равны = , исправленные выборочные дисперсии (S и S ) различаются незначимо (расхождение между ними величина случайная).

4. Тогда можно проверить основную гипотезу о равенстве средних значений с использованием t-критерия Стьюдента:

, (1.7)

подставляя числовые значения, получим:

,

t _{кр (0,05; 13)} = 2,16[2]

Так как | t _расч |< t _кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождение между вычисленными средними незначимо. Отсюда вывод: тренд урожайности ячменя отсутствует.

Решение примера с помощью Пакета анализа Excel

1. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью F-теста, который можно найти среди инструментов Анализа данных (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Вызов надстройки Excel Анализ данных

2. Вводим данные для выполнения F-теста, указывая интервал для первой и второй переменных (рис. 1.4). Результат выполнения теста приведен в табл. 1.4.

Анализируя результаты выполнения двухвыборочного F-теста для проверки гипотезы о равенстве дисперсий, приходим к выводу, что исправленные выборочные дисперсии (S и S ) различаются незначимо.

Рис. 1.4. Ввод данных для двухвыборочного F-теста

Таблица 1.4. Результат выполнения двухвыборочного F-теста для дисперсии

	Переменная1	Переменная2
Среднее	15,129	16,663
Дисперсия	42,146	41,220
Наблюдения
df - число степеней свободы
F	1,022
P (F <= f) одностороннее	0,481
F критическое одностороннее	3,866

3. Выбираем инструмент анализа Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями (рис. 1.5). Вводим данные. Результат выполнения t-теста приведен в табл. 1.5., анализируя который убеждаемся, что тренда нет.

Рис. 1.5.Ввод данных для двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями

Таблица 1.5. Результат выполнения t-теста.

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	15,129	16,663
Дисперсия	42,146	41,220
Наблюдения
Объединенная дисперсия	41,647
Гипотетическая разность средних	0,000
df - число степеней свободы
t-статистика	-0,459
P (T ≤ t) одностороннее	0,327
t критическое одностороннее	1,771
P (T ≤ t) двухстороннее	0,654
t критическое двухстороннее	2,160

Наличие тенденции среднего уровня на графике становится более заметным, когда на нем отражены сглаженные значения исходных данных.

Сглаживание временных рядов.

Сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными значениями, имеющими меньшие колебания, чем исходные данные является простым методом выявления тенденции развития.

Соответствующее преобразование называется фильтрованием.

Сглаживание временных рядов проводится по следующим причинам:

• В ряде случаев при графическом изображении временного ряда тренд прослеживается недостаточно отчетливо. Поэтому ряд сглаживают, на график наносят сглаженные значения и, как правило, тенденция проявляется более четко.
• Некоторые методы анализа и прогнозирования требуют в качестве предварительного условия сглаживание временного ряда.
• Сглаживание временных рядов используется при устранении аномальных наблюдений.
• Методы сглаживания в настоящее время применяются для непосредственного прогнозирования экономических показателей.

Существующие методы сглаживания делят на две группы:

1. Методы первого типа (аналитические).

Сглаживание с использованием кривой, проведенной относительно фактических значений ряда так, чтобы эта кривая отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называют еще кривыми роста, и они используются главным образом для прогнозирования экономических показателей.

2. Методы механического сглаживания.

При использовании этих методов производится сглаживание каждого отдельного уровня ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней. Для сглаживания временных рядов часто используются методы простой и взвешенной скользящей средней, экспоненциального сглаживания.