Аналіз при двох обмеженнях

При наявності двох обмежень аналіз можна виконати шляхом побудови та розв’язання системи лінійних рівнянь з двома невідомими або графічним методом.

Розглянемо методику аналізу на прикладі.

Приклад. Завод виготовляє два види продукції (А і Б), яка проходить послідовну обробку у двох цехах (№ 1 і № 2). Потужність кожного цеху обмежена кількістю машино-годин роботи обладнання: цех № 1 – 1780 годин, цех № 2 – 1160 годин. Затрати машинного часу на одиницю продукції розподіляються таким чином:

– продукція А: цех № 1 – 5 годин, цех № 2 – 4 години;

– продукція Б: цех № 1 – 8 годин, цех № 2 – 2 години.

Маржинальний дохід на одиницю продукції А – 54 грн., продукції Б – 75 грн.

Необхідно визначити оптимальний обсяг виробництва окремих видів продукції за наявних обмежень.

Для розв’язання задачі складемо рівняння витрат машинного часу по цехах:

№ 1 5х₁ + 8х₂ = 1780

№ 2 4х₁ + 2х₂ = 1160,

де х₁ – обсяг виробництва продукції А;

х₂ –обсяг виробництва продукції Б.

Розв’яжемо цю систему рівнянь звичайним алгебраїчним методом: поділимо почленно перше рівняння на 5, а друге – на 4 та віднімемо друге рівняння від першого:

х₁ + 1,6х₂ = 356

х₁ + 0,5х₂ = 290

1,1х₂ = 66

х₂ = 60

х₁ + 0,5 × 60 = 290

х₁ = 290 – 30

х₁ = 260

Отже, підприємству доцільно виготовляти 260 одиниць продукції А та 60 одиниць продукції Б, що забезпечить повне використання машинного часу:

цех № 1 5 × 260 + 8 × 60 = 1780,

цех № 2 4 × 260 + 2 × 60 = 1160

та принесе підприємству 18540 грн. маржинального доходу:

260 × 54 + 60 × 75 = 18540 грн.

Графічним методом подібні задачі розв’язують таким чином. Будується система координат, по осі х якої позначають один вид продукції (наприклад, А), а по осі у – другий (Б). Потім розраховують максимально можливий обсяг виробництва за умови, що в цеху буде вироблятися лише один вид продукції. Так, у нашому прикладі в цеху № 1 можна за 1780 годин обробити 356 виробів А або 222,5 одиниці виробу Б. У цеху № 2 за 1160 годин можна обробити 290 виробів А або 580 виробів Б. Ці величини і будуть координатами ліній обмеження, а координати точки їх перетину будуть характеризувати оптимальні обсяги виробництва окремих видів продукції (рис. 5.3).

у(Б)

580 •

222,5

Оптимальний обсяг виробництва продукції Б (60 од.)

60 356

Оптимальний обсяг виробництва продукції А (260 од.)

100 200 290 400 х(А)

Рисунок 5.3. Графічне розв’язання задач оптимізації виробництва за наявності двох обмежень

Можливі й інші методи графічного розв’язання задач оптимізації при наявності двох обмежень.