Математические методы анализа систем

Существенными свойствами систем являются наличие связей между элементами и процесс преобразования, происходящий в системе. Система считается полностью определенной, если известны элементы, связи между ними и наблюдаемые величины, используемые для описания системы. Определение системы должно учитывать ее существенные свойства. В качестве элементов могут выбираться объекты, их свойства, величины и значения величин. Следует различать элементы исходного множества, на котором строится система, и элементы системы, которые сами могут быть множествами. При формальном описании системы в качестве ее элементов обычно используются свойства и величины. Необходимо иметь в виду, что любая формализация основана на упрощениях и учитывает лишь некоторые аспекты понятия. В символьном виде система определяется как множество элементов с отношениями

, (6.1.1)

где … – множества элементов, а …– отношения, определяющие связи элементов одного или нескольких множеств, причем элементами здесь являются объекты. Вводя обозначения элементов, имеем

, (6.1.2)

где индексы независимо пробегают некоторое множество .

Приведем два определения, оперирующие величинами. В первом из них система рассматривается, как подмножество, задаваемое в пространстве величин, при этом отношение не определяется в явном виде. Второе определение рассматривает систему, как преобразователь входных величин в выходные, т.е. с точки зрения процессов, происходящих в системе. Это определение характерно для класса автоматов.

Определение 1. Системой называется отношение на непустых множествах

, (6.1.3)

где – символ декартова произведения; I – множество индексов; V_i – элементы системы. Если I конечно, то (6.1.3) принимает вид

. (6.1.4)

Пусть множества , образуют разбиение множества элементов V, при этом выполняются соотношения Æ и . Множество называется входным элементом (входом), а – выходным элементом (выходом) системы. Тогда система называется системой “вход – выход”. Если S является функцией, то соответствующая система называется функциональной. Связь между входом и выходом системы может задаваться в виде обычной функции, оператора или матрицы.

Определение 2 (для системы с конечным числом состояний). Система определяется в виде кортежа (упорядоченного набора элементов)

, (6.1.5)

где X – множество допустимых входов; Y – множество допустимых выходов; – множество допустимых состояний, – функция перехода из одного состояния в другое, – функция выхода.

Таким образом, система формально определяется в терминах ее наблюдаемых величин и взаимосвязей между ними, при этом их конкретная интерпретация может быть различной. Это отражает суть системного подхода, направленного на выяснение организации и взаимосвязей элементов систем вне зависимости от их природы.

Приведенные определения допускают обобщение на нечеткий случай. Нечеткая система определяется выражениями вида (6.1.1) – (6.1.5), в которых – нечеткие множества, – нечеткие отношения, – нечеткие функции. Нечеткое множество определяется в виде , аналогично задаются нечеткое отношение и нечеткая функция .

Аксиоматический подход к понятию сложности. Понятие сложности является многоаспектным. В разделе 3.2.2 рассматривалась вычислительная сложность. В общем случае сложность системы не может быть измерена в абсолютной мере, а только в шкале порядка, т.е. с точностью до монотонного преобразования. Однако для класса систем, относящихся к автоматам, можно определить понятие сложности с помощью аксиом таким образом, что оказывается возможным ее измерение в шкале отношений. Для структурной сложности имеют место следующие аксиомы:

1. Иерархия.

Если , то , т.е. сложность подсистемы не может быть больше, чем сложность всей системы.

2. Параллельное соединение.

Если , то , т.е. при параллельном соединении подсистем сложность суммарной системы определяется наиболее сложной ее частью.

3. Последовательное соединение.

Если , то , т.е. сложность системы не больше суммарной сложности подсистем.

4. Соединение с обратной связью.

,

где – сложность обратной связи из в _.

5. Нормализация.

для всех , т.е. в множестве систем существует подмножество “элементарных” систем , сложность которых равна нулю.

Здесь предполагается, что измерение сложности проводится в шкале отношений с одной степенью свободы и фиксированным нулем, т.е. результат измерения выражается числом. В качестве меры сложности в этом случае можно выбрать, например, число элементов в системе или число отношений между элементами.

Приведенных аксиом оказывается достаточно для определения мер структурной сложности систем, задаваемых различными способами. Для систем с конечным числом состояний эти аксиомы однозначно определяют меру сложности, причем их количество является минимальным. Эти аксиомы также удобны при алгебраическом подходе к анализу и оценке сложности.

Рассмотрим применение аксиом для оценки сложности систем с различной структурой. Для последовательно-параллельной структуры, состоящей из последовательных уровней, на каждом из которых имеется соответственно параллельных элементов, сложность определяется выражением

, (6.1.6)

где – сложность элемента первого уровня и т.д.

Для сетевых структур сложность оценивается с помощью второй и четвертой аксиом. Например, сложность сетевой структуры, состоящей из элементов, в которой каждый элемент связан со всеми другими (многоугольник с диагоналями), определяется выражением

, (6.1.7)

где – сложность элемента , – сложность связи элементов и .

Сложность поведения, вообще говоря, не определяется приведенными выше аксиомами. Аксиома иерархичности может нарушаться, если при переходе от системы к подсистеме или наоборот меняется тип поведения. Аксиома нормализации не может быть установлена, так как измерение сложности поведения осуществляется в шкале порядка. Имеет место аксиома типовой сложности

, (6.1.8)

где индекс (1) относится к детерминированному поведению, индекс (2) – к случайному, индекс (3) – к нечеткому.

Можно подойти к определению сложности поведения формально, т.е. считать, что, чем сложнее структура системы, тем сложнее ее поведение. Тогда в пределах типа могут быть сохранены аксиомы, сформулированные для сложности структуры, однако они не являются вполне адекватными. Если тип поведения меняется при переходе от системы к подсистемам или наоборот, то происходит скачкообразное изменение сложности.

Аксиоматический подход может быть реализован для класса автоматов в пределах детерминированного типа поведения. В качестве систем с «элементарным» поведением в этом случае можно выбрать одношаговую детерминированную машину Тьюринга, а в качестве меры сложности поведения системы – функцию преобразования. Распространение аксиом на другие типы поведения (случайное и нечеткое) довольно проблематично.

Глоссарий

Термин	Что обозначает?
Автомат	Система, в которой входы и выходы заданы
Аналогия	Сходство нетождественных объектов в некоторых признаках, сторонах
Гомология	Подобие моделей (законов) объектов (процессов) в разных областях
Дедукция	Способ рассуждения (вывод) от общего к частному
Индукция	Метод рассуждения (вывод) от частного к общему, от частей к целому
Модус поненс	Заключение от истинности основания к истинности следствия
Модус толленс	Заключение от отрицания следствия к отрицанию основания
Парадигма	Совокупность методологических предпосылок, определяющих выбор проблем и являющихся моделью, образцом для решения задач
Подсистема	Часть системы, рассматриваемая как система
Ранжирование	Расположение систем или их элементов в определенном порядке
Редукция	Метод приведения сложного к более простому, целого к части, восстановление начального состояния объекта по конечному
Синтез	Метод (процесс) объединения частей в единое целое
Система	Множество элементов, между которыми имеется взаимосвязь (взаимодействие)
Элемент	Любая часть системы

1 Слово «автомат» происходит от греческого «αυτοματος» - сам собою движущийся, сам собой случающийся, сам собой.

1 Модус поненс (от лат. Modus ponens) – заключение от истинности основания к истинности следствия.

2 Модус толленс (от лат. Modus tollens) – заключение от отрицания следствия к отрицанию основания.