Моделирование поведения систем

В этом разделе рассматриваются общие закономерности моделирования поведения систем. Интерес представляет, прежде всего, математическое моделирование, т.е. возможность формализованного описания систем. Применительно к системам модели могут быть качественными декларативными и носить характер описания свойств. Такие модели полезны, так как способствуют пониманию, но если мы хотим что-то точно предсказать, проверить, рассчитать или сделать, то необходимы формальные количественные модели. Построение модели определяется целью исследования или, иными словами, чтобы получать разумные ответы, нужно задавать разумные вопросы. Основными требованиями к модели являются удобство и адекватность. Удобство модели определяется степенью ее детализации и формой представления, возможностью интерпретации ее параметров. Адекватность модели характеризует ее пригодность для описания системы и достижения цели исследования. В первом случае модель должна быть достаточно простой, во втором – достаточно сложной. Эти критерии противоречивы или, лучше сказать, взаимно дополнительны, как если бы некто, разглядывая объект в микроскоп, пытался сохранить и детали, и поле зрения. Еще одним критерием является полнота, или универсальность модели. Применительно к сложным системам это требование редко выполняется. Скорее имеет место множественность моделей, фиксирующая уровень нашего незнания и ограниченные возможности экспериментирования и проверки истинности (верификации) моделей, а без наличия новых фактов, требующих объяснения, процесс моделирования лишен необходимой основы. Мы вынуждены по части судить о целом, что почти всегда приводит к неоднозначности построения (синтеза) модели. Проблема синтеза не решается однозначно без дополнительных ограничений, выдвигаемых самим исследователем. Конечно, играет роль и феноменология, т.е. умозрительные построения, но это часто не устраняет неоднозначности. Эмпирические модели строятся на основе обобщения экспериментальных фактов, относящихся ко всем системам данного типа, методом индукции. К этому классу относятся, например, регрессионные модели, параметры которых определяются из экспериментальных данных. Теоретические модели строятся методом доказательства из исходных общих посылок (предположений), которые сами принимаются без доказательства и не противоречат опыту. К этому классу относятся, например, формальные логические модели.

Основная трудность при моделировании системы, если мы хотим определить причины поведения, состоит в выборе существенных переменных (параметров) и установлении инвариантов – функций параметров, остающихся неизменными при некоторых (допустимых) преобразованиях переменных, определяемых симметрией системы. Мы рассмотрим три уровня организации: неживые системы, биологические (живые) системы и социальные системы (человек, общество), что обусловлено качественно различными уровнями абстракции при моделировании и выборе существенных переменных.

Неживые системы. Общим для них является то, что основную роль играют здесь физические законы, устанавливающие физические ограничения на выбор существенных переменных и допустимых преобразований. В свою очередь, физические законы являются следствием свойств симметрии пространства – времени (однородность, изотропность), что приводит к инвариантности законов относительно трансляций, вращений и т.п. Любой закон сохранения (вещества, энергии и т.п.) является следствием инвариантности некоторой функции существенных переменных относительно группы допустимых преобразований для данной системы, например относительно перестановки правого и левого, пространственного отражения в начале координат, малых вращений в произвольной точке, инвариантность относительно произвольного бесконечно малого преобразования координат, калибровочная инвариантность уравнений вещества и поля и т.п. Общим для систем этого уровня является механизм поддержания равновесия с окружающей средой – энтропийный механизм. Он состоит в том, что система может сохранять равновесие со средой только путем увеличения энтропии или, иными словами, при возрастании неопределенности в системе и ее разрушении.

Из сказанного отнюдь не следует, что уровень неживых систем является однородным с точки зрения моделирования. Здесь используются модели разной степени общности в зависимости от цели исследования. Наиболее характерными из них являются причинные модели, статистические модели, квантовомеханические модели.

Биологические системы. Для живых систем также выполняются физические законы и физические ограничения. Нас может интересовать перемещение системы в пространстве или физические процессы в организме на клеточном уровне. Однако сущность живых систем иная. Основное их свойство состоит в наличии ощущений, и этим обусловлены выбор существенных переменных, а также все закономерности и модели поведения живых систем. Основная задача для биологических макросистем состоит в изучении поведения системы во взаимоотношении с окружающей средой, которое определяется в терминах существования сообществ биологических видов, трофических связей (кто кого ест). Развитие биологических видов обусловлено такими законами, как естественный отбор, выживание наиболее приспособленного, борьба за существование, модификация видов посредством вариации, вымирание и дивергенция (расхождение) признаков и т.п. Для живых систем характерны целесообразные действия, поэтому их модели в качестве существенных переменных содержат такие величины, как вход (стимул), выход (реакция), обратная связь, информация, цель, функция. В основном, используются эмпирические модели в виде зависимостей выхода от входа, включающие линейную комбинацию переменных и взаимодействия разных порядков с неизвестными коэффициентами, которые определяются на основе опытных фактов.

Общим для взаимоотношения живых систем с окружающей средой является то, что наряду с энтропийным механизмом поддержания равновесия, появляются новые: гомеостатический и морфогенетический. Гомеостатический механизм основан на поддержании стабильности (гомеостазиса), т. е. той области значений внешних параметров (параметров среды), внутри которой возможно существование организма. Достигается это или изменением функций в ответ на внешнее воздействие, или изменением окружающей среды. Любая живая система обладает рецепторами (датчиками, сенсорами), позволяющими ей оценивать свое положение относительно границы гомеостазиса (x) и способностью к определённым действиям (u). Получая информацию (сигнал) из окружающей среды, она формирует свои действия в зависимости от характера информации с помощью обратной связи так, чтобы остаться в области гомеостазиса . Морфогенетический механизм связан с перестройкой структуры системы и новым ростом и проявляется, когда возможности гомеостатического механизма исчерпаны.

Биологические системы относятся к классу самоуправляемых систем рефлексивного типа.

Искусственные технические системы с точки зрения моделирования поведения можно отнести к живым системам, так как они являются копиями живых систем, созданными людьми для выполнения заданных функций (достижения заданных целей). Для живых систем наряду с физическими ограничениями (ограничениями условий) важными становятся целевые (критериальные) ограничения, которые система устанавливает сама для поддержания равновесия со средой. Для технических систем целевые (критериальные) ограничения устанавливаются людьми при проектировании и использовании этих систем. При этом физические ограничения влияют на целевые и должны ими учитываться.

Социальные системы. Для социальных систем также имеют место физические ограничения, на них накладываются биологические ограничения. Нас может интересовать перемещение систем в пространстве, ощущения и инстинкты людей и т.п. Однако сущность социальных систем иная. Основное их свойство состоит в разумности, и этим свойством обусловлены выбор существенных параметров и все закономерности и модели поведения социальных систем. Поведение этих систем реализуется в форме разумной деятельности, направленной на достижение определенных целей. Закрепление и передача опыта происходит не путем эволюции, естественного отбора и накопления полезных признаков (хотя и это имеет место), а главным образом, посредством обучения на основе накопления знаний, обмена знаниями и их распространения в масштабах человеческого общества. Модели поведения социальных систем в качестве существенных переменных содержат такие величины, как затраты, ресурсы, продукция, эффект, результат, польза и т.п., понимаемые в широком смысле.

Обратные связи, возникающие в социальных системах, не могут быть описаны с помощью функций поведения рефлексивного типа. При моделировании таких систем необходимо учитывать процедуры обработки информации из-за их сложности, длительности, запаздывания, вносимых искажений, но главное, из-за изменения характера поведения, которое зависит от мировосприятия и описывается в терминах принятия решений на основе получаемой информации. Решение зависит от информации сложным образом, при этом зависимость не является однозначной. Кроме того, сложность связана с тем, что любая группа, любой отдельный человек в рамках социальной системы имеют свои цели и средства их достижения. Основными системными целями являются сохранение (улучшение) условий функционирования, расширение деятельности системы, минимизация усилий, получение пользы и т.п.

Гомеостатический механизм проявляется специфическим образом в форме выработки, принятия и реализации решений. Когда возможности системы в рамках гомеостатического механизма исчерпаны, используется морфогенетический механизм (перестройка, реорганизация системы).

Рассмотрим некоторые наиболее характерные классы моделей, применяемые для описания поведения систем.

Модели «вход – выход» являются наиболее распространенными. Их можно условно разделить на четыре группы: структурно-параметрические, функционально-операторные, информационные и модели целевого управления. С каждым типом модели связан определенный «удобный» способ описания.

В моделях первой группы результат функционирования (выход) системы представляется в виде функции, зависящей от элементов системы (их характеристик, переменных) и отношений между ними :

(3.3.1)

Этот тип модели характерен для замкнутых и относительно замкнутых систем и соответствует «микроописанию» системы, когда может детально рассматриваться структура системы. Наиболее известная модификация (3. 3.1) представляется как линейная комбинация аргументов и их взаимодействий разного порядка. Тогда (3.3.1) принимает вид

(3.3.2)

Выражение (3.3.2) в простейшем случае может быть записано в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки, тогда оно описывает изменение величины .

В моделях второй группы результат функционирования (выход) системы представляется в виде преобразования входного элемента x под действием последовательности операторов:

(3.3.3)

где R ₁, R ₂,…, R_n – операторы, описывающие процесс преобразования входного элемента. Эта модель соответствует алгоритмическому описанию поведения системы.

Модели третьей группы имеют вид

(3.3.4)

где I ₁, I ₂ – информация на входе и выходе системы, соответственно; F ₁, F ₂ – функции (функционалы); n – порядок итерации; K – критерии, характеризующие условия «останова» процедуры. Эта модель соответствует схеме имитационного моделирования поведения системы.

Для модели четвертого типа результат функционирования (выход) системы представляется в виде

(3.3.5)

где C_i – набор целей, Y_j – набор условий, О_k – набор ограничений, определяемые как самой системой, так и внешними системами. Этот тип модели соответствует макроописанию системы.

Отметим, что в рассмотренных моделях выход может неявно зависеть от времени через аргументы. При необходимости может быть установлена аналогия между группами моделей, заключающаяся в определении соответствия между множествами переменных (первая модель), операторов (вторая модель), информации (третья модель), векторов, описывающих внешние взаимосвязи системы (четвертая модель).

Динамические модели. Эти модели имеют вид дифференциальных уравнений первого порядка. Они получили распространение в задачах управления движением макрообъектов, а затем были перенесены на более широкую область. Трудность их применения связана с возможностью содержательной интерпретации величин, характеризующих систему. Выделяют несколько видов таких моделей: модели без управления, одноцелевые и многоцелевые модели с управлением.

Модели без управления не содержат свободных параметров или функций. Они записываются в виде

(3.3.6)

где x – фазовые переменные системы, t – время, x – случайные величины, характеризующие внешние условия. В этом случае определяются не отдельные траектории, а их статистики, например, математические ожидания и дисперсии.

Одноцелевые модели. Они имеют вид

(3.3.7)

где u (t) – управление, выбор которого осуществляется системой из условия достижения заданной цели. Часто используется дополнительное условие минимизации или максимизации некоторого функционала качества, например, в виде

(3.3.8)

при переходе системы за время T из состояния x ₀ в состояние x_Т.

Многоцелевые модели. Пусть поведение изучаемой системы определяется действиями нескольких систем, в распоряжении которых имеются управления u, v, w …. Тогда модель имеет вид

(3.3.9)

причём управления выбираются так, чтобы удовлетворить дополнительным условиям

которые отражают определенные интересы соответственно первой, второй и других систем. Если системы состоят из субъектов, то эти модели описывают класс систем, называемых многоцелевыми (кибернетическими), которые являются обобщением управляемых систем и имеют более сложное поведение. Методы решения перечисленных задач при различных упрощающих предположениях хорошо известны, и мы не будем на них останавливаться. Интерпретация фазовых переменных зависит от природы системы и целей исследования.

Логические модели. Эти модели основаны на формальной или нечеткой логике и содержат сигнатуру (область определения аргументов) и правила вывода. Сигнатура включает задание некоторого набора логических переменных, например, объединение, пересечение, дополнение, импликация и т.п., выбираемого в зависимости от предметной области. Вывод строится на основе общих правил, связывающих условие (основание) и следствие, и известных фактов о поведении системы. В качестве примера такой модели можно привести вывод на основе правил «модус поненс»1 и «модус толленс»2. Первое правило имеет вид , второе Здесь A – основание, B – следствие, A¢, B¢, A¢¢, B¢¢ – факты, причем во втором правиле отрицательные. Логические модели могут применяться для описания поведения живых, технических и социальных систем. Использование нечеткого вывода расширяет возможности этих моделей.

В заключение обсудим соотношение между моделями поведения, моделями программы и моделями структуры. В случае моделей поведения эквивалентно лишь поведение, программы и структуры могут быть различны. В случае моделей программ из подобия программ вытекает подобие поведения, так как программа задает поведение. В случае моделей структуры из подобия структур вытекает подобие поведения и подобие программ.

Основу для установления соответствия моделей систем дает отношение изоморфизма. Пусть имеются две системы S ₁ и S ₂, возможно, разной природы. Поведение S ₂ является моделью поведения S ₁, тогда и только тогда, если:

- существует взаимно-однозначное соответствие между наблюдаемыми величинами систем S ₁ и S ₂;

- можно установить взаимно-однозначное отображение между величинами S ₁ и величинами S ₂, в рамках которого все отношения между наблюдаемыми величинами S ₁ эквивалентны отношениям между соответствующими величинами S ₂. Тогда говорят об изоморфизме между системами с точки зрения эквивалентного поведения. Отношение изоморфизма является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е. представляет собой обобщенную эквивалентность (подобие).