Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнение Введем новую функцию р(х), положив y’= p(x). Тогда

Или общее решение данного уравнения имеет вид

В случае, когда правая часть уравнения n -го порядка зависит только от х, то общее решение находится n- кратным интегрированием

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение.

- общее решение.

2) Уравнение второго порядка имеет вид . Данное уравнение не содержит явно искомой функции у. Введем новую искомую функцию . Тогда оно приводится к уравнению первого порядка

Пусть есть решение этого уравнения. Учитывая, что , получаем для определения искомой функцииуравнение первого порядка . Решив это уравнение, получаем общее решение дифференциального уравнения второго порядка.

Пример. Найти общее решение уравнения

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Положим . Тогда Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим уравнение первого порядка

Разделяя в этом уравнении переменные, находим

Так как y’ = p, то y’ =C ₁ ( 1 +x²). Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения

Выделим из этого общего решения частное решение, используя первое начальное условие находим или

Продифференцируем общее решение: Используя второе начальное условие получим откуда

Таким образом, для определения постоянных С ₁ и С ₂ поучим систему уравнений

Решая эту систему, получим

Следовательно, искомое частное решение данного уравнения имеет вид

3) Уравнение второго порядка имеет вид Данное уравнение не содержит явно независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения вводится новая функция р = р(у), которая зависит от переменной у. Полагая y’ = p(y) и дифференцируя это равенство по х, учитывая, что у есть функция от х, будем иметь

Так как то

Подставляя выражения для y’ и y” в данное дифференциальное уравнение, получаем уравнение первого порядка относительно функции р (у):

Пусть есть решение этого уравнения. Вспоминая, что , получаем дифференциальное уравнение первого порядка, , решая которое найдем общее решение данного уравнения второго порядка.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Уравнение не содержит явно независимой переменной х. Поэтому введем новую неизвестную функцию р(у), полагая y‘ = p(y). Тогда Подставляя выражения для и в данное уравнение, получим

В этом уравнении первого порядка переменные разделяются:

Интегрируя, находим:

Так как то и, следовательно,

Интегрируя, получаем общий интеграл

или

Решая относительно у, находим общее решение

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называется дифференциальным уравнение n -го порядка?

2. Какой вид имеет общее решение для дифференциального уравнения n-го порядка? Что такое общий интеграл.

3. Какой вид имеет общее решение уравнения ?

4. Что такое частное решение и частный интеграл?

5. Какой подстановкой понижается порядок дифференциального уравнения, не содержащего искомой функции?

6. Какой подстановкой понижается порядок дифференциального уравнения, не содержащего независимой переменной?