Вычисление массы плоской кривой

Пусть дана кривая АВ уравнением y=f(x), a£ x£ b, и пусть эта кривая представляет собой материальную линию. Это означает, что вдоль кривой распределена масса, линейная плотность которой выражается законом . Линейной плотностью называется масса единицы длины линии. Тогда масса кривой АВ вычисляется по формуле

В частности при rº1 числовое значение массы совпадает с длиной кривой.

5. Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек

с массами

Статическими моментами массы материальной точки относительно осей Ох и Оу называются произведения (произведения массы точки на расстояние до соответствующей оси). Тогда, как известно из курса теоретической механики, координаты центра тяжести () системы материальных точек определяются формулами:

Если кривая АВ задана уравнением y=f(x), a£ x £ b, вдоль которой распределена масса , то, разбивая кривую на n частей и, заменяя каждую часть материальной точкой, для координат центра тяжести получим формулы, аналогичные приведенным. Если теперь перейти к пределу, когда число разбиений увеличивается неограниченно, а сами частичные дуги стремятся к нулю, то, при r º 1, получим формулы:

Выражения, стоящие в числителях формул при r º 1, являются статическими моментами (геометрическими моментами) кривой АВ относительно осей Оу и Ох соответственно

Пример. Найти координаты центра тяжести полуокружности расположенной выше оси Ох.

Решение. Определим ординату центра тяжести:

(так как полуокружность симметрична относительно оси Оу).

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция №16

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Цель лекции. Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом математики, которые применяются при решении различных практических задач, построении математических моделей. Целью лекции является изучение основных понятий теории дифференциальных уравнений, методов их интегрирования.

Основные вопросы.

1. Основные понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1. – 456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы,2003 – 686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы,2012–110с.

Краткое содержание.

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производные Дифференциальное уравнение записывается в виде

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производную

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано

- в общем виде,

- в виде уравнения, разрешенном относительно производной,

- в симметричной форме,

Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция , зависящая от переменной х и произвольной постоянной С, удовлетворяющая условиям:

- функция j(x,C) является решением этого уравнения при любых значениях произвольной постоянной С;

- для любой точки (х ₀, у ₀), принадлежащей области определения функции f(x,y), найдется единственное значение постоянной С = С ₀ такое, что решение удовлетворяет условию

Частным решением дифференциального уравнения называется всякое решение , полученное из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С = С ₀.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка есть однопараметрическое семейство линий, называемых интегральными. Частное решение есть одна из интегральных линий этого семейства

Задача отыскания частного решения , удовлетворяющего заданным условиям , называется задачей Коши. При этом условие называется начальным условием. Начальное условие может быть записано в виде , или (х ₀, у ₀).

Общее решение дифференциального уравнения, найденное в виде , не разрешенном относительно у, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Ф(х, у,С ₀ ) -частный интеграл.

2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

или

Если уравнение задано в симметричной форме

то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

.

Коэффициенты при dx и dy представляют собой произведение множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной.

Для решения дифференциального уравнения с разделяющими переменными его нужно записать в симметричной форме и разделить переменные. Для этого нужно обе части уравнения разделить на множитель Получим уравнение с разделенными переменными

.

Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл.

.

Пример. Решить уравнение

и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Запишем уравнение в симметричной форме

Разделяем переменные

Интегрируем

или

Для удобства потенцирования полученного равенства представим параметр С ₁ в логарифмической форме, положив Тогда

- общее решение.

При делении уравнения на (у - 2) возможна потеря решения (у - 2) = 0. Но оно входит в общее решение при С = 0. Если оно не входит в общее решение ни при каких значениях С, то его нужно включить в состав общего решения.

Решим задачу Коши. Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Таким образом, у = 4cos x + 2 - частное решение данного уравнения.

2. Дифференциальное уравнение первого порядка называется

однородным, если его можно представить в виде

.

Правая часть уравнения зависит только от отношения переменных.

Если уравнение задано в симметричной форме

то оно будет однородным, если функции M(x,y) и N(x,y) будут однородными функциями одного измерения, т.е. существует такое число k Î Z, что

Mtx,ty) = t^k M(x,y) и N(tx,ty) = t^k N(x,y)

тождественно относительно х и у и t ¹ 0. Функции, удовлетворяющие указанному условию, называются однородными k-го измерения, а само уравнение – однородным уравнением.

С помощью подстановки (u(x) – новая искомая функция) однородные уравнения преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение

Решение. Уравнение представим в виде

Положим Тогда После подстановки в данное уравнение получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к функции у, находим

- общее решение данного уравнения.

Лекция №17

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение).

Цель лекции. Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом математики, которые применяются при решении различных практических задач, построении математических моделей. Целью лекции является изучение основных понятий теории дифференциальных уравнений, методов их интегрирования.

Основные вопросы.

1. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1. – 456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы,2003 – 686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы,2012–110с.

Краткое содержание.

3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

где p(x) и q(x) - заданные непрерывные функции от х.

Уравнение вида называется линейным однородным уравнением.

Решение линейного уравнения ищется в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x), y = u(x) v(x). Найдем производную . Подставляя значение y и y’ в уравнение, будем иметь

Функцию v(x) найдем из условия Тогда функция u(x) найдется из уравнения . Таким образом, функции u(x) и v(x) находятся из системы двух дифференциальных уравнений, каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного уравнения имеет вид

Метод вариации произвольной постоянной. Решая однородное уравнение,

соответствующее данному уравнению, в котором положим q(x) = 0, получим общее решение в виде

Считая С функцией от х, т.е. C = C(x) подставим предполагаемое решение в линейное уравнение. Будем иметь

Подставляя полученное выражение для С (х) в предполагаемое решение, получим общее решение линейного неоднородного уравнения в виде

4. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое имеет вид

где n ¹ 0, n ¹ 1 (при n = 0 уравнение является линейным, а при n = 1 - уравнением с разделяющимися переменными).

Так же как и линейное уравнение, уравнение Бернулли решается с помощью подстановки . Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению с помощью подстановки z = y ^{1 - n}.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Данное уравнение является линейным. Положим y = uv. Тогда

.

Подставляя у и , будем иметь

.

Для определения неизвестных функций u(x) и v(x) будем иметь систему уравнений с разделяющимися уравнениями

.

Решая первое уравнение, найдем функцию v(x):

Решим второе уравнение

Общее решение данного уравнения имеет вид

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию при

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Решим соответствующее однородное уравнение

Считая C = C(x), будем искать общее решение данного уравнения в виде

Подставим предполагаемое решение у и его производную у’,

в уравнение. Будем иметь

, С - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.

Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Уравнение в полных дифференциалах может быть записано в виде

Общий интеграл этого уравнения будет

где С - произвольная постоянная.

Функция U(x,y) может быть найдена следующим образом. Интегрируя равенство по х при фиксированном у в пределах от х ₀ до х, где х₀ абсцисса любой точки из области существования решения и, замечая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от у, будем иметь

.

Дифференцируя найденную функцию по у и, учитывая, что , получим равенство

Интегрируя полученное равенство по у в пределах от у ₀ до у, будем иметь

Таким образом, функция U(x,y), будет иметь вид

Приравняв это выражение произвольному постоянному С (С₁ входит в С), получим общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

Если при построении решения U(x,y) брать за исходное второе равенство

то получим для общего интеграла следующее выражение

В формулах для получения общего решения нижние пределы интегрирования х₀ и у₀ выбираются произвольно в пределах области существования решения (получающиеся интегралы имеют смысл).

Пример. Решить уравнение

Решение. Покажем, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим выполнимость условия

Равенство выполняется, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию U(x,y).

Интегрируя по х при постоянном у равенство , получим

Дифференцируя полученную функцию по у и подставляя результат в равенство будем иметь

Подставляя найденное значение функции в выражение для U(x,y) и, приравняв ее произвольной постоянной С, получим общий интеграл уравнения

Это же уравнение можно решить, пользуясь выражениями для общих интегралов. В качестве точки (х ₀ ,у ₀) возьмем точку (1;0), так как в этой точке

Тогда