Елементи математичної статистики

Дискретна випадкова величина, що задається табличкою

, ймовірності наставання – невідомі,

Над випадковою величиною проведено випробувань . Використаємо стандартний прийом математичної статистики: в наслідок повторів над дискретною випадковою величиною вважаємо результати одного композиційного випробування, що є композицією віртуальних незалежних випробувань, кожна з яких є копією фізично-існуючого випробування, що породило випадкову величину , і з кожним і-им віртуально-залежним випробуванням зв’язується випадкова величина , , де є віртуальними незалежними копіями фізично-існуючої , тобто числа є результатами одного випробування над двовимірною випадковою величиною , де – віртуальні незалежні копії . Тобто число є результатами випробування .

Примітка! Кожне є одне з чисел

З кожним і-им випробуванням також зв’яжемо випадкову величину , що задається табличкою

приймає значення 0, якщо в і-ому випробуванні випадкова величина не прийняла значення .

приймає значення 1, якщо в і-ому випробуванні випадкова велична прийняла значення .

Далі зв’язуємо -вимірних величин.

(Див. теорему Бернуллі)

Розглянемо суму випадкових величин ( – достатньо велике число) тоді можна вважати, що для цієї суми виконується центральна гранична теорема, тобто сума розподілена нормально (див. відповідну примітку центральної граничної теореми).

Розглянемо випадкову величину . Реалізація цієї випадкової величини є частістю наставання події , де – кількість повторів чисел числа елементарної події . Для достатньо великого величина має нормальний розподіл.

Знайдемо оцінки невідомих ймовірностей по результатам випробуваннях – числа

Тоді випадкова велична має нормований нормальний розподіл.

(див. нормальний розподіл функції Лапласа)

Примітка! Існують таблиці для обернених функцій Лапласа.

Оцінка є наступною , тобто максимальне значення досягає .

Таким чином отримали наступний результат:

Таким чином, задавши і задавши точність оцінки (довжина інтервалу), ми однозначно знаходимо необхідну кількість випробувань .

– вибірка об’єму фіксованих результатів. По числам будуємо варіаційний ряд, тобто структуруємо числа по зростанню ( – найменше, – найбільше).

Примітка! Так як – неперервна випадкова величина, то числа різній з ймовірністю 1.

Ідея побудови гістограми полягає в наступному:

розбити цей відрізок на підвідрізки однакової довжини з площею.

Чим менша основа прямокутників, тим точніше ступенева фігура на цьому відрізку оцінює функцію щільності.

Алгоритм побудови гістограми

1. На числовій осі задаємо відрізок

Вибирається натуральне число

Примітка! Бажано, щоб . Головна умова повинно бути таким, щоб кількість пів відрізків була натуральним числом.

2. В кожен піввідрізок попадає членів вибірки об’єму і кінці піввідрізків збігаються з членами варіаційного ряду.

Примітка! Кінець кожного відрізку входить у попередній і наступний відрізок.

3. На основі кожного відрізка будуємо прямокутник з однаковою площею (частість наставання події в проведених випробуваннях над . попадає в заданий відрізок.

4. При за теоремою Бернуллі частість збігається до теоретичної ймовірності наставання цієї події.

Значить, що якщо – достатньо велике, то частість – це наближена ймовірність цієї події.

Отримана ступнева фігура – гістограма.

Аналіз гістограми

Єдина неоднозначність її побудови – правила розбиття відрізка на піввідрізки.

Наприклад, в деяких підрахунках цей відрізок б’ють на піввідрізки однакової довжини, але це неправильно!

Обгрунтування. Тому що гістограма нікому не потрібна сама по собі. Вона ніде і ніколи не використовується як функція щільності.

Але будується для того, щоб висунути, не помилившись, гіпотезу про справжню функцію щільності випадкової величини. І робиться це наступним чином: статистичні довідники містять аналітичні вирази і графіки усіх відомих в науці і практиці функцій щільності з коментарями в яких галузях науки і техніки використовується задана функція щільності. Тоді дослідник, аналізуючи свою гістограму, повинен висунути гіпотезу про справжню функцію щільності. Ця гіпотеза далі перевіряється критеріями перевірки математичних гіпотез.

Примітка! Найбільш відомий критерій перевірки статистичних гіпотез – критерій

­­­­­