Теорема Бернуллі

Маємо незалежних випробувань Бернуллі (в кожному випробуванні настає подія чи з ймовірністю і відповідно).

З кожним і-им випробуванням зв’язуємо дискретну випадкову величину , що задається табличкою

, якщо в і-ому випробуванні настала подія , то , якщо , то .

Так як випробування Бернуллі незалежні, то випадкові величини – незалежні.

– це випадкова величина – кількість разів появи події в незалежних випробуваннях Бернуллі.

Знайдемо

Розглянемо випадкову величину – частість наставання події в незалежних випробуваннях Бернуллі.

Запишемо нерівність Чебишева

Спрямуємо до нескінченності

. Отримали результат:

при кількості випробувань, що прямує до нескінченності, частість наставання події по ймовірності збігається з теоретичною ймовірності наставання . Це означає, що при необмежених великих будь-яка реалізація з ймовірністю 1 не відрізняється по модулю від аксіоматичної ймовірності на стільки завгодно мале число , тобто виродилась у константу .

Використаємо стандартний прийом математичної статистики: є фізично-існуюче випробування, що породило простір елементарних подій . Беремо довільну подію і з нашим випробуванням зв’язуємо випадкову величину , що задається табличкою:

.

разів повторили фізично-існуюче випробування, в кожному з яких випадкова велична приймала значення 0 чи 1.(настала –1, не настала 0).

Стандартний прийом математичної статистики полягає в наступному: в результаті повторів випробування над фізично-існуючою випадкову величину можна вважати результатом одного композиційного випробування (композицією віртуальних незалежних випробувань, кожне з яких є незалежною копією фізично-існуючого випробування, і кожне таке випробування породжує віртуальну випадкову величину , що є незалежною віртуальною копією фізично-існуючої .

Наприклад, результатами разів підкидання монети фізично-існуючою однією людиною можна вважати підкидання монети в різних кімнатах незалежною копією фізично-існуючої людини. З цього випливає, що частість наставання події є реалізацією віртуально-існуючої випадкової величини .