Дискретное преобразование Лапласа и Z - преобразование

Удобным для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа, которое представляет собой обобщение обычного преобразования Лапласа на дискретные функции (сигналы).

Обычное прямое преобразование

(3.10)

где x(t) - непрерывная функция - оригинал, Х(р) - изображение.

Как известно, импульсный сигнал на выходе простейшего импульсного элемента можно представить в виде промодулированной последовательности дельта-функций:

		(3.11)

Таким образом, каждая ордината дискретной функции представляет собой δ-функцию, площадь которой определяется функцией Х(пТ). Только в этом существует формальное различие между функциями X^*(t) и Х(пТ). Но без него невозможно ввести понятия, связанные с изображениями дискретных сигналов.

Изображение сигнала x^*{t) в смысле дискретного преобразования Лапласа определяется по формуле:

		(3.12)

где X^*{t)- оригинал; Х^*(р) -изображение.

Как видно из этой формулы, дискретное преобразование устанавливает функциональную связь между дискретными функциями (сигналами) и их изображениями. Нетрудно заметить аналогию между выражениями (10) и (12). Интегралу с бесконечным пределом соответствует бесконечная сумма, непрерывному аргументу t - дискретный аргумент пТ, а непрерывной функции x(t) -дискретная функция х(пТ). По существу выражение (12) есть сумма изображений всех δ - функций, входящих в формулу (11). Под знак суммы необходимо ставить соответствующую дискретную функцию х(пТ).

Очень удобным на практике оказалось Z - преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки z=e ^pT:

		(3.13)

где х(пТ) - оригинал; X(z) - изображение в смысле Z- преобразования.

Рассмотрим два примера определения изображений дискретных функций.

1. Требуется определить изображение единичной ступенчатой дискретной функции х(пТ) — 1 (пТ).

В соответствии с формулой (11) имеем

Z-преобразование этой функции

2. Дана экспоненциальная функция х(пТ)=e^anT. Найдем ее изображение:

В справочной литературе по автоматике содержатся обширные таблицы дискретного преобразования Лапласа и Z - преобразования. В таблице приведены изображения часто встречающихся функций.

Итак, изображения дискретных функций являются функциями е^pT, а не р, как это имеет место в обычном преобразовании Лапласа. В связи с этим возникла необходимость перехода к аргументу z = е^pT, который является периодической функцией частоты. Поэтому дискретные изображения и частотные спектры дискретных функций также являются периодическими функциями частоты с периодом 2π.

Таблица 3.2