Пружний та непружний удари тіл та частинок

Цікавим прикладом, де застосовуються закони збереження, є пружний та непружний удари (зіткнення) тіл. Їх вивчення є корисним у будівництві. Так, наприклад, для забивання паль до початку будівництва будинку використовують так званий віброударний спосіб, що ґрунтується на застосування удару вібромолота об палю. При цьому вібромолот здійснює ударний та вібраційний вплив, результатом чого є занурення палі у ґрунт. На рисунку 1.58 наведено принципову схема вібромолота: 1 – виброзбуджувач напрямлених коливань; 2 – дебаланс; 3 – бойок; 4 – ковадло; 5 – пружинна підвіска; 6 – залізобетонна паля.

При зіткненні тіл один з одним вони зазнають деформації. При цьому кінетична енергія, яку мали тіла перед ударом, частково або повністю переходить в потенційну енергію пружної деформації або в так звану внутрішню енергію тіл. Збільшення внутрішньої енергії тіл супроводжується підвищенням температури. Існують два граничних виду удару: абсолютно пружний і абсолютно непружний.

Абсолютно непружний удар характеризується тим, що потенційна енергія деформації не виникає, кінетична енергія тіл повністю або частково перетворюється у внутрішню енергію. Після удару тіла з’єднуються разом та рухаються з однаковою швидкістю, або зупиняються. Прикладом може слугувати попадання кулі з гвинтівки у рухому мішень, наприклад, в ящик з піском, підвішений на мотузці. Куля, застрявши в піску, залишається в ящику і рухається разом з ним.

Фізичні явища при зіткненнях досить складні. Тіла, що зіштовхуються, деформуються, виникають пружні сили і сили тертя, в тілах збуджуються коливання і хвилі тощо. Однак, якщо удар непружний, то в кінці кінців усі процеси зупиняються, і в подальшому тіла, з’єднавшись разом, рухаються як єдине тверде тіло. Його швидкість можна знайти, не вдаючись у механізм явища, а використовуючи лише закон збереження імпульсу. Закон збереження механічної енергії не справджується – має місце закон збереження сумарної енергії різних видів – механічної і внутрішньої.

Розглянемо абсолютно непружний удар на прикладі зіткнення двох однорідних куль масами m ₁ та m ₂, що утворюють замкнену систему та рухаються вздовж осі x, що з’єднує їх центри із швидкостями відповідно та (рис. 1.59). В цьому випадку удар називається центральним. Позначимо через спільну швидкість тіл після удару.

Запишемо закон збереження імпульсу:

.

В проекціях на вісь х маємо .

Звідси отримаємо

. (1.137)

Кінетична енергія куль до удару і після нього відповідно рівна:

, .

Звідси зміна кінетичної енергії:

;

. (1.138)

Де величина називається зведеною масою тіл. Таким чином, при зіткнення двох абсолютно непружних тіл відбувається втрата кінетичної енергії макроскопічного руху, рівна половині добутку зведеної маси на квадрат відносної швидкості.

Кінетична енергія при абсолютно непружному ударі частково або повністю перетворюється на теплову енергію рухомих молекул. Під час зіткнення в системі діють дисипативні сили, що зменшують кінетичну енергію макроскопічного руху. Тому застосовувати закон збереження механічної енергії до процесів, що протікають під час удару, не можна. Однак після того, як удар закінчився і рухомі тіла з’єднались в одне ціле, законом збереження енергії уже можна користуватися (якщо, звичайно, в подальшому не діятимуть дисипативні сили).

Абсолютно пружним ударом називається такий удар, при якому механічна енергія тіл не переходить в інші немеханічних види енергії. Прикладом такого удару може бути зіткнення більярдних куль із слонової кістки. При такому ударі кінетична енергія переходить повністю або частково в потенційну енергію пружної деформації. Потім тіла повертаються до початкової форми, відштовхуючи один одного. Потенційна енергія пружної деформації знову переходить у кінетичну енергію, і тіла розлітаються зі швидкостями, величина і напрямок яких визначаються збереженням повної енергії та збереженням повного імпульсу системи.

Розглянемо абсолютно пружний центральний удар двох однорідних куль. Припускається, що кулі утворюють замкнену систему тіл та обертання куль відсутнє.

Позначимо m ₁ та m ₂ – маси куль, и – швидкості куль до удару, и – швидкості куль після удару. Запишемо рівняння закону збереження імпульсу та енергії:

; (1.139)

. (1.140)

Спроектуємо рівняння закону збереження імпульсу (1.139) на вісь x:

і перетворимо його до вигляду

. (1.141)

Перепишемо закон збереження енергії (1.140) через проекції швидкостей у наступному вигляді:

. (1.142)

Оскільки при ударі швидкості тіл змінюються, то u _{1 x} ≠ υ_{1 x} ; u _{2 x} ≠ υ_{2 x} . Отже u _{1 x} – υ _{1 x} ≠ 0; u _{2 x} – υ _{2 x} ≠ 0. Тоді поділимо рівняння (1.142) на (1.141). Отримаємо:

(1.143)

Для знаходження швидкості u _{1 x} помножимо (1.143) на m ₂ і отримане співвідношення складемо з рівнянням (1.141):

,

отримаємо:

,

звідси:

. (1.144)

Для визначення швидкості u _{2 x} помножимо (1.143) на m ₁ і отримане співвідношення віднімемо від рівняння (1.141):

,

отримаємо

,

звідси

. (1.145)

Для отримання кінцевого вигляду формул необхідно спроектувати швидкості тіл до удару та на вісь та відповідні проекції (додатні чи від’ємні) підставити у формули (1.144) та (1.145).

При m ₁ = m ₂ із (1.144) та (1.145) слідує, що u _{1 x} = u _{2 x} , а u _{2 x} = u _{1 x} , тобто кулі однакової маси при абсолютно пружному ударі обмінюються швидкостями.

Закони фізики, що описують пружний та непружний удари макроскопічних тіл, справджуються також і у фізиці мікросвіту. Вивчення зіткнень дозволяє перевірити теоретичні уявлення про процес зіткнення і є головним методом дослідження взаємодій, взаємоперетворень, структури та інших важливих характеристик атомних і субатомних частинок та процесів мікросвіту, коли немає можливості експериментально прослідкувати розвиток процесу взаємодії у часі і в просторі, а можна лише досліджувати результат.