Закон збереження енергії у механіці

Розглянемо, як змінюються кінетична і потенціальна енергії будь-якої ізольованої системи, в якій діють лише консервативні сили. Нехай в результаті дії цих сил система перейшла із положення (1) в положення (2). Роботу, виконану консервативними силами можна визначити із рівняння (1.124): . Та ж робота може бути виражена через приріст кінетичної енергії (рівняння (1.114)): . Прирівнюючи рівності (1.124) та (1.114) отримаємо:

Сума кінетичної і потенціальної енергії називається повною механічною енергією Е. Таким чином, Е ₁ = Е ₂. Або

(1.135)

Рівняння (1.135) виражає закон збереження енергії: в системі з одними лише консервативними силами повна механічна енергія залишається незмінною.

Кінетична енергія при цьому може перетворюватися в потенціальну в еквівалентних кількостях і навпаки. Оскільки кінетична енергія за визначенням не може бути від’ємною, то це означає, що потенціальна енергія менша чи рівна повній механічній енергії.

Якщо в замкнутій системі, окрім консервативних сил, діють також неконсервативні, дисипативні сили (сили тертя, опору), то повна механічна енергія системи не зберігається. Дійсно, робота усіх сил при переході системи із положення (1) в (2) визначатиметься:

Прирівнюючи цей вираз до приросту кінетичної енергії, отримаємо:

або

(1.136)

Сили тертя, як правило, здійснюють негативну роботу. Тому наявність сил тертя в замкнутій системі призводить до зменшення її повної механічної енергії з часом. Дія сил тертя призводить до перетворення механічної енергії в інші немеханічні види енергії.

Згідно теореми Емми Нетер закон збереження енергії випливає із однорідності часу.