Эти уравнения называются каноническими уравнениями метода сил

Число уравнений равно степени статической неопределимости системы.

Если положить X_k=1, то δ_iXk =δ_ik следовательно δ _ik -перемещение по направлению i – го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k- й фактор.

Например δ₃₄ – взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил был приложен только единичный момент в точке С, δ₄₄ – угол поворота точек В и С при действии единичного момента.

Для определения величин коэффициентов δ _ik нужно в интегралах Мора вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k- й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы нужно заменить на внутренние моменты и силы от единичного k- го фактора. В итоге получим:

М_{кр i} , М _xi , М _yi, N_i, Q_xi, Q_yi – внутренние силовые факторы, возникающие под действием i- го единичного фактора.

Коэффициенты δ _ik получаются как результат перемножения i- го и k- го внутренних единичных силовых факторов.

Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то δ _ik представляет результат перемножения i- х единичных эпюр на k-е единичные эпюры, причем: δ _ik= δ_ki.

Величины δ _iP – перемещения в направлениях 1,2…,возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе и определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

Использование свойств симметрии.

Если рама симметрична в геометрическом отношении, то число неизвестных силовых факторов X_i можно снизить.

Симметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части.

Кососимметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к правой части, также зеркальное отображение сил левой части, но противоположны им по знаку. Аналогично и внутренние силовые факторы М _x, М _y,N –симметричные,

М_кр, Q_x , Q_y – кососимметричные.

У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы.

Все эти положения имеют силу и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости.

Если нагрузка симметричной рамы не обладает свойствами ни прямой, ни косой симметрии, ее всегда можно разложить на кососимметричную и симметричную.

Например:

В этом случае задача распадается на две – с кососимметричной и симметричной нагрузками.

Если рама обладает косой геометрической симметрией, то путем сопоставления эпюр для двух ее половин, можно получить упрощения в системе канонических уравнений. Например:

Пример

Эпюра М строится обычным способом или может быть получена наложением на эпюру моментов от заданных сил (М_Р) трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в X₁, X₂, X₃ раза.

Пример 2. Симметричная рама нагружена кососимметричными силами. В такой раме симметричные силовые факторы равны нулю. Поэтому вместо трех уравнений получаем одно:

Эпюра М построена обычным способом.

Определение перемещений в статически неопределимых системах.

После того, как раскрыта статическая неопределимость и найдены X₁,X₂,X₃ и т.д. строятся эпюры моментов от внешних сил F и от уже известных X₁,X₂,X₃ и т.д. Далее система освобождается от всех внешних сил и к ней прикладывается единичная сила в интересующем нас направлении. Полученная единичная эпюра перемножается с суммарной эпюрой внешних заданных сил. Практически более удобно умножать единичную эпюру отдельно на эпюры от F и от X₁,X₂,X₃, а затем полученные результаты алгебраически сложить.

Пример: Раскрытие статической неопределимости построение эпюры М смотри предыдущий пример

Особенности расчета плоскопространственных и пространственных систем.

Плоскопространственные системы – системы плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными к плоскости рамы. В этих системах, внутренние силовые факторы в сечениях, лежащих в плоскости рамы равны нулю. Доказательство этого аналогично свойствам прямой и косой симметрии. Поэтому решение для такой рамы аналогично решению плоской рамы.

Для пространственных статически неопределимых систем приемы решения остаются те же. Канонические уравнения метода сил остаются теми же и коэффициенты их определяются при помощи тех же приемов.

Особое внимание в пространственных рамах требует проверка основной системы на кинематическую неизменяемость. Эта проверка производится обычно при помощи проб, т.е. путем последовательных попыток мысленно сместить раму или некоторые ее элементы относительно неподвижных осей.

Модульный контроль 4.

Тема 11. Устойчивость равновесия деформируемых систем.

Лекция 9, Общие понятия.

Устойчивость – свойство системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях. Если под воздействием внешних причин происходит отклонение от исходного равновесного состояния и система переходит к новому состоянию, в этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости.

При переходе стержня из прямолинейной формы в криволинейную под воздействием F происходит потеря устойчивости.

Для анализа устойчивости необходимо выбрать расчетную схему.

Система является идеальной, если она под воздействием нагрузки сохраняет свою устойчивую форму и размеры, а нагрузка не отступает от предписанных законов распределения. Если такая система под воздействием малых возмущений возвращается к исходному состоянию после снятия возмущающей силы, то она называется устойчивой.