Градиентные операторы

Модуль градиента в аналоговой форме может быть представ­лен следующим соотношением:

. (16)

Аналогично для направления вектора градиента:

. (17)

В дискретном изображении разности рассчитываются на осно­ве следующей схемы, которая может быть распространена и на боль­шие размеры окна (маски):

m-1 n-1	m-1 n	m-1 n+1
m n-1	m n	m n+1
m+1 n-1	m+1 n	m+1 n+1

Очень простым градиентным оператором является оператор Робертса:

(18)

или ,

где , ;

следовательно:

.

Маски компонентов оператора:

.

Градиентное изображение сдвинуто на половину интервала дискретизации в горизонтальном и вертикальном направлениях по отношению к исходному, т. Е. его координаты ; . Так как градиент Робертса образует разности соседних точек в обоих диагональных направлениях, он весьма чувствителен к шумам в изображении. Оператор Робертса находит применение в алгоритмах отслеживания контуров.

Дифференциальный оператор используется и в следующей простейшей форме. Из определения первой частной производной непрерывной двумерной функции при , можно записать:

. (19)

В дискретном случае необходимо подставить , а и принять равными 1. Тогда получим следующие разностные приближения:

– разность в направлении ;

– разность в направлении .

Следовательно, в соответствии с (16) получается градиентное поле:

. (20)

Маски градиентов этого оператора есть:

.

Симметричный вариант этого градиента выглядит следующим образом:

– разность в направлении ;

– разность в направлении .

Маски компонентов этого теперь уже симметричного вокруг элемента оператора теперь будут:

.

Эта симметрия играет важную роль, так как преобразования производятся симметрично относительно рассматриваемого элемента изображения.

В соответствии с принципом направленно-зависимых разностей разработано большое количество мощных направленно-зависимых детекторов и обострителей контуров. Размер окна обычно выбирается , реже – . Приближение к градиенту вычисляется через разность, пропорциональную модулю, или же через сумму разностей модулей. Такие операторы относительно устойчивы к шуму.

Распространенный взвешенный симметричный градиентный оператор с размером окна , известный с 1970 г., - оператор Превитта имеет одновременно и сглаживающее и дифференцирующее действие:

. (21)

Как видно, сглаживание осуществляется в направлении , а формирование разностей – в направлении .

. (22)

Здесь сглаживание идет в направлении , а формирование разностей – в направлении .

Модуль градиента:

. (23)

Благодаря учету большого количества соседних точек этот градиент менее чувствителен к шуму, чем градиент Робертса.