Стационарлық емес кездейсоқ процестерді модельдеу

Стационарлық емес кездейсоқ процестерді модельдеу үшін академик B.C. Пугачев каноникалық жіктеу әдісін ұсынды [17, 18].

Кездесоқ функция ŋ(t) өзінің корреляциялық функциясымен R_x(t_i,t_j) және математикалық үмітімен m_x(t),берілсін. Сондай-ақ уақыт өсінде орналасқан t₁,t₂,…..,t_n мезгілдері белгілі болсын (бір мезгілдер бір-бірінен бірдей қашықтықта тұруы міндетті емес). Енді ŋ(t) кездейсоқ процесінің x(t) нақтыламаларын моделдеу керек. Ол үшін кездейсоқ процесті каноникалық қылып жіктейік.

(6.1)

Мұндағы v_i – үйлестірім заңы белгілі, корреляцияланбаған және центрленген кездейсоқ шамасы φ_i(t)- координаттық функциясы деп аталатын кездейсоқ емес уақыт функциясы.

Сонымен, кездейсоқ процестерді каноникалық жіктеу әдісімен модельдеу үшін, алдын-ала координаттық функцияларды және v кездейсоқ шамасының дисперсиясын анықтап алу керек.

Корреляциялық функция мен дисперцияның каноникалық жіктеуін мына түрде жазайық:

(6.2)

(6.3)

Осы екі өренктен, i>j болғанда φ(t_j)=0, ал φ(t_i)=1 екенін ескере отырып, координаталық функциялар мен v_i кездейсоқ шамасының D_i дисперсиясын анықтайтын формуланы шығаруға болады:

(6.4)

(6.5)

Енді ŋ(t) кездейсоқ процесінің x(t) нақтыламаларын есептейтін формуланы келтіретін уақыт жетті:

(6.6)

Мұндағы y_i- кездейсоқ v шамасының нақтыламасы. Осы кездейсоқ шаманың үлестірім заңын өз еркімізбен таңдауға болады, мысалы, ол бірқалыпты заң болуы мүмкін. Тек, осы әдіспен гаусс процестерін модельденгенде ғана v_i кездейсоқ шамасы қалыпты үлестірімге бағынышты болуы керек.

6.1 мысал. математикалық үмітімен және мына корреляциялық матрицасымен:

берілген қалыпты үлестірімді стационарлық емес кездейсоқ процесті модельдеу қажет болсын.

Алдын – ала (6.4) және (6.5) формулаларымен координаттық функцияларды және дисперсияларды есептеп алайық:

Енді кездейсоқ ŋ(t) процесінің x(t_j) нақтыламаларын есептеуге болады:

Каноникалық жіктеу әдісінің алгоритмі алдын-ала және негізгі модельдеу сатыларынан тұрады.

Алдын-ала модельдеу сатысы:

1- қадам. (6.5) және (6.4) формулалары бойынша дисперсияларын және есептеу.

Негізгі саты:

2- қадам. Математикалық үміті m_y=0, дисперсиясы белгілі v кездейсоқ шамасының нақтыламаларын модельдеу.

3- қадам. (6.6) формула бойынша x(t_j) іске асырылуын есептеу керек.

4- қадам. j=j+1 деп алайық.

5- қадам. j>n шартын тексеру, n -уақыт бөлігінде берілген нүктелер саны. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 3-ші қадамға қайтамыз.

6- қадам. x(t_j) нақтыламаларын баспалдау.