Теорема Паскаля

Блез Паскаль (1623 - 1662) – знаменитый французский математик, физик и философ.

Определение: пусть А₁А₂А₃А₄А₅А₆ – шесть точек проективной плоскости Φ_2, никакие из которых не лежат на одной прямой. Фигура образованная этими точками и 6-ю прямыми А₁А₂,А₂А₃,А₃А_4, А₄А_5, А₅А₆ называется шестивершинником и обозначается А₁А₂А₃А₄А₅А_6. Данные точки называются вершинами, а прямые А₁А₂,А₂А₃,А₃А_4, А₄А_5, А₅А₆ – сторонами. Две стороны, отделенные друг от друга двумя другими сторонами, называются противоположными: А₁А₂ и А₄А₅; А₂А₃ и А₅А₆; А₃А₄ и А₆ А_1.

Теорема (Паскаля): для того, чтобы шестивершинник мог быть вписан в овальную линию второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы три точки пересечения его противоположных сторон лежали на одной прямой p (называемой прямой Паскаля).

Без доказательства.

Пример 1: Для правильного шестиугольника на расширенной евклидовой плоскости прямая Паскаля является не собственной.

Замечания:

1) если какие – либо две вершины шестивершинника, вписанного в овал ω, неограниченно сближаются, то соединяющая их сторона в пределе превращается в касательную к овалу ω.

В зависимости от того, сколько вершин совпадают, получаются предельные случаи теоремы Паскаля для вписанных пятивершинников, четырехвершинников и трёхверширнников;

2) Теореме Паскаля верна и в случае линии 2 порядка, состоящей из двух различных (пересекающихся) прямых . В этом случае она называется теоремой Паскаля – Паппа.

Папп (2-я половина 3-го века н.э.) – древнегреческий математик работал в Александрии.

Пример 2: Предельный случай теоремы Паскаля для вписанного пятивершинника

А₁А₂ - А₂А₃ - А₃А₄ - А₄А₅ - А₅А₆ – А₆А₁

A₁=A₆ – совпавшие вершины, A₁A₆ = a – касательные к ω.

Теорема: для того, чтобы пятивершинник можно было вписать в овальную линию 2 – го порядка ω, необходимо и достаточно, чтобы две точки () пересечения двух пар его противоположных сторон и точки () пересечения пятой стороны с касательной a, проведенной в двойной вершине (A₁=A₆), лежали на одной прямой p.

Список литературы

Основной:

1. Александров, П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968.

2. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия. – 2-е изд.- М: Высшая школа, 1963.

3. Гильберт, Д., Кон-Фоссен. Наглядна геометрия. – Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.

4. Гильберт, Д. Основания геометрии. – Пер. с нем.- М.- Л.: Гостехиздат, 1948.

5. Горшкова, Л. С., Паньженский, Е.В., Марина, Е.В. Проективная геометрия.- Л.:Изд- во ЛКИ, 2007.

6. Гуревич, Г.Б. Проективная геометрия. – М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960.

7. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия. – 7-е изд. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 2004.

8. Кокстер, Х. С. М. Действительная проективная плоскость. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры, 1959.

9. Понарин, Л. П., Аффинная и проективная геометрия.- М.: Изд-во МЦНМО, 2009.

10. Хартсхорн, Р. Основы проективной геометрии. – Пер. с англ. – М.: Мир, 1976.

Дополнительный:

1. Александров, А. Д., Нецветаев, Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

2. Атанасян, Л.С., Базылев, В.Т. Геометрия. – Учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1987.

3. Кострикин, А.И., Манин, Ю.И. Линейная алгебра и геометрия: Учеб. пособ. для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

4. Певзнер, С.А. Проективная геометрия: Учеб. пособие. – М.: Просвещение,1980.

5. Певзнер, С.А. Проективная геометрия: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета. – Комсомольск-на-Амуре: Изд-во Комсомольского-на- Амуре государственного педагогического университета, 2001.

6. Погорелов, А.В. Геометрия. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

Задачники:

1. Задачник-практикум по проективной геометрии / Певзнер, С.Л., Цаленко М.М. – М.: Просвещение, 1982.

2. Сборник задач по геометрии. – Учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. ин-тов. – Ч. II. – М.: Просвещение, 1975.

3. Сборник задач по геометрии / Под ред. В.Т. Базылева. – М.: Просвещение, 1980.