Понятие квадрики

Определение 1: квадрикой в аффинном пространстве называется множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

(1)

где - квадратичная форма,

- линейная форма, – свободный член.

Теорема 1: понятие квадрики не зависит от выбора аффинной системы координат.

□ Если множество точек задано в старой системе координат уравнением (1), то для получения уравнения этого множества точек в новой системе координат достаточно применить формулы преобразования координат точки (§2):

, , .

При этом не могут появиться члены степени выше второй, то есть степень уравнения (1) не может повыситься. Степень этого уравнения не может понизиться. Если бы степень нового уравнения оказалась ниже второй, то при обратном переходе от этого уравнения к уравнению (1) она бы повысилась до второй. Выше доказано, что это невозможно. ■

Примеры: 1.) на аффинной плоскости квадрика является линией второго порядка и задается уравнением:

2.) в пространстве квадрика является поверхностью второго порядка и имеет уравнение:

Определение 2: точки и называются симметричными относительно точки пространства , если есть середина отрезка , то есть .

Определение 3: точка называется центром симметрии или просто центром квадрика пространства , если точка , симметричная любой точке квадрики относительно точки , также принадлежит этой квадрике.

,

Определение 4: Квадрика называется центральной, если она имеет единственный центр, и нецентральной, если не имеет цента.

Если множество центров квадрики является бесконечным и все эти центры принадлежат r -мерной плоскости P_r (1≤r<n) пространства A_n,то говорят, что данная квадрика имеет плоскость центров размерности r.