Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 1: формой или однородным многочленом от нескольких переменных называется многочлен, степени всех одночленов которого одинаковы. Если эта степень первая, то форма называется линейной, если вторая, то форма называется квадратичной: - однородная функция степени .
Линейная форма от переменных имеет вид:
Квадратичная форма от этих же переменных имеет вид:
(1)
причём полагают .
Пример: n = 2
Определение 2: квадратная матрица из коэффициентов квадратичной формы от переменных вида называется матрицей квадратичной формы (1).
Так как , то эта матрица симметрическая: её элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.
Определение 3: линейным преобразованием переменных называется переход от системы переменных к системе переменных по формулам:
(2)
где и ≠0, (3)
то есть матрица из коэффициентов является невырожденной.
Замечания: 1) легко видеть, что множество всех указанных линейных преобразований является группой относительно их последовательного выполнения, то есть относительно композиции;
2) переменные можно рассматривать как координаты некоторого вектора векторного пространства , либо как координаты некоторой точки Х связанного с ним аффинного пространства . Тогда в первом случае формула (2) при условии (3) есть формула перехода к новому базису пространства , а во втором случае – формулы перехода к новой аффинной системе координат с прежним началом (отсутствуют свободные члены);
3) мы ограничимся рассмотрением квадратичных форм и линейных преобразований лишь с действительными коэффициентами и переменными: ;
4) подвергнув переменные в квадратичной форме (1) линейному преобразованию (2) при условии (3), получим также квадратичную от переменных с новыми коэффициентами. Оказывается, что преобразование (2) всегда можно выбрать так, что новая квадратичная форма будет содержать только квадраты новых переменных:
(4)
(некоторые коэффициенты могут оказываться нулевыми).
Определение 4: вид (4) квадратичной формы (1) называется её каноническим (простейшим) видом.
Очевидно, матрицы квадратичной формы канонического вида является диагональной: .
Если при этом коэффициенты равны 0 или ±1, то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 386 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!