Замечания

1) если уравнение G(x, z)=0 в плоскости Oxz в системе координат O определяет линию γ', то это же уравнение в пространстве определяет цилиндр с направляющей γ' и параллельными оси OY образующими;

2) если уравнение (1) есть уравнение второй степени относительно X и Y, то есть γ- линия второго порядка, то цилиндрическая поверхность с направляющей γ и параллельными вектору образующими является цилиндром второго порядка. Вид его определяется видом направляющей линии γ.

Рассмотрим цилиндрические поверхности 2-го порядка.

1. Эллиптический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, все его сечения плоскостями, параллельными плоскости Oxy есть равные между собой эллипсы. Любой из них, например, сечение плоскостью Oxy можно принять за направляющую.

При a=b эти сечения являются окружностями, цилиндр является поверхностью вращения и называется круговым цилиндром.

Он образован вращением прямой с уравнением , лежащей в Oxz, вокруг оси OZ: x²+y²=a².

2. Гиперболический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, направляющей может служить, например, гипербола, лежащая в плоскости Oxy.

3. Параболический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, направляющей может служить, например, парабола x²=2a²y, лежащая в плоскости Oxy (z=0).

4. – цилиндр, распавшийся на пару плоскостей , пересекающихся по оси OZ.

5. – цилиндр, распавшийся на пару плоскостей , параллельных плоскости OXY.

6. – цилиндр, состоящий из пары совпадающих с плоскостью OYZ плоскостей.