Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид задается своим каноническим уравнением:

. (1)

1. Плоскости, оси и центр симметрии

Как и в случае эллипсоида доказывается, что однополостный гиперболоид с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех осей координат и начала координат.

Таким образом, оси координат служат осями однополостного гиперболоида, а начало координат – его центром.

2. Вершина

Ox:

Oy:

Oz: точек пересечения нет.

Определение. Действительными осями однополостного гиперболоида называются те оси, с которыми он пересекается. Третья ось, с которой он не пересекается, называется мнимой осью. Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

3. Главные сечения

Сечение плоскостью Oyz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Oy).

Сечение плоскостью Oxz: - гипербола с мнимой осью Oz (вершина на оси Ox).

Сечение плоскостью Oxy: - эллипс с полуосями a и b.

4. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oxy

αǁOxy: или . (2)

Уравнения (2) определяют эллипс с полуосями при любом . Если h=0, то полуоси принимают наименьшие значения: a₁=a, b₁=b. Полученное главное сечение называется горловым эллипсом.

Если , то полуоси a₁, b₁ неограниченно возрастают.

5. Сечение плоскостью, параллельной плоскости Oyz

βǁOxy: (3)

Возможны три случая:

а) Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oz:

и полуосями , .

б) Уравнения (3) определяют пару прямых, пересекающихся в точках (±a;0;0):

.

в) Уравнения (3) определяют гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oy:

и полуосями , .

Аналогичный результат получается и при пересечении поверхности с уравнением (1) плоскости γ с уравнением y = h, где γ ║ Oxz.

Изобразим теперь однополостный гиперболоид, используя проведенное выше исследование его формы.

6. Виды однополостных гиперболоидов

а) Если a = b, например, то уравнение (1) задает поверхность вращения, а именно однополостный гиперболоид вращения.

(4)

Эта поверхность получается вращением гиперболы с уравнениями вокруг оси Oz, то есть вокруг мнимой оси гиперболы.

б) Однополостный гиперболоид с центром O’(x₀,y₀,z₀) и полуосями a, b, c, параллельными осям координат, имеем уравнение:

(5)

Пример. Изобразить поверхность второго порядка в : .

Решение.

однополостный гиперболоид вращения, a = c = 1, b = 2; ось вращения – ось Oy.