Следствие 1

. (5)

Доказательство следствия.

Следствие доказано.

Следствие 2. Знак смешанного произведения тройки некомпланарных векторов соответствует её ориентации, то есть если тройка правая, то , если тройка левая, то

Следствие 3. Три вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство следствия.

Если тройка векторов коллинеарная, то объём параллелепипеда, построенного на векторах этой тройки, равно нулю. Обратно, если V_ПАР = 0, то вектора тройки коллинеарны.

Следствие доказано.

Замечание. Из трёх неколлинеарных векторов , можно составить шесть упорядоченных троек: причём первые три тройки векторов образуют правый базис, а последние три – левый базис (большой, указательный, средний пальцы).

При перестановке любых двух векторов в каждой из первых троек получается копия – либо из трёх последних, поэтому в результате меняется ориентация упорядоченных троек векторов.

Если в упорядоченной тройке векторов осуществить циклическую перестановку векторов, то непосредственной проверкой убедимся, что при этом ориентация упорядоченной тройки векторов не меняется.

Из теоремы 1 следует, что при перестановке векторов в упорядоченной тройке модуль скалярного произведения не меняется, так как во всех случаях он равен объёму одного и того же параллелепипеда. Так же от скалярного произведения зависит ориентации тройки векторов.