Замечания. 1) В дальнейшем пространство будем считать положительно ориентированным, если в нем выбрана правая аффинная система координат;

1) В дальнейшем пространство будем считать положительно ориентированным, если в нем выбрана правая аффинная система координат;

2) Как и в планиметрии, доказывается формула: , где – начало вектора , – конец этого вектора.

(правило треугольника).

Таким образом, каждая координата вектора в пространстве равна разности соответствующих координатам конца и начала вектора;

3) Координаты точки , делящей направленный отрезок , где , , в отношении ( = ) находятся по формулам: , , .

В частности, если - середина отрезка , то и , ;

4) Как и для плоскости, доказываются формулы перехода от системы координат к системе координат :

(3)

где , , , - в «старой» системе координат , , .

Матрица при этом имеет ранг 3 и является невырожденной; Она называется матрицей перехода от базиса к базису .

Так как, векторы нового базиса некомпланарны, а, значит, и линейно независимы, то определитель . Поэтому система (3) разрешима относительно переменных . Это позволяет выразить координаты точки в «новой» системе через координаты той же точки в «старой» системе.

5) Формулы параллельного переноса системы координат в точку принимают вид:

- единичная матрица.

2⁰.

Определение 4. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой или просто декартовой, если её координатные векторы образуют ортонормированный базис.

Обозначение. , , .

; ; .

.

(4)

Теорема. Расстояние от точки до точки в прямоугольной декартовой системе координат выражается формулой:

(5)

Так как , то получаем = .

Замечание. В дальнейшем мы будем пользоваться только прямоугольными декартовыми системами координат

Если рассматривается преобразование прямоугольных систем координат и s New Roman"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>'</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , то можно пользоваться формулами (5). Однако, на элементы матрицы перехода от базиса к базису ( накладываются определённые ограничения:

а) Сумма квадратов элементов каждой её строки или столбца равна единице;

б) Сумма произведений соответствующих элементов любых её двух различных строк или столбцов равна нулю.

Это происходит, потому что элементы столбцов матрицы являются соответственно координатами единичных и взаимно ортогональных векторов в базисе

Матрица в этом случае называется ортогональной. В частности, матрица параллельного переноса является единичной и ортогональной.

Примеры. Следующие матрицы являются ортогональными:

Квадратная матрица порядка , для которой (невырожденной), называется ортогональной, если

Ранг невырожденной матрицы порядка равен

6) Можно доказать, что если системы «старая» и «новая» ориентированы одинаково, то

Пусть ∆ - определитель ортогональной матрицы , тогда по правилу умножения матриц и используя определение ортогональных матриц, получаем:

Применяя к этому равенству теорему об определении произведения матриц, получаем ∆² = 1, то есть ∆ = ±1.

Как уже отмечалось ранее, скалярным произведением векторов и в системе называется число:

(6)

Справедливы формулы:

. (7)

. (8)

. (9)

(10)

. (11)

(12)