Прямая и обратная задача геодезии

Прямая задача: даны координаты X₁ и Y₁ точки А начала линии АВ и дирекционный угол α. Требуется определить координаты X₂ и Y₂ точки В.

Из рисунка следует, что координаты точки В конца линии АВ:

X₂ = X₁ + ΔX;

Y₂ = Y₁ + ΔY;,

Где ΔX; и ΔY есть приращения координат. Очевидно, что:

ΔX = d · cos α

ΔY = d · sin α

При помощи румбов приращения координат можно вычислить как: ΔX = ± d · cos(r); ΔY = ± d · sin(r) – в зависимости от дирекционного угла или названия румба.. При этом приращения координат имеют соответствующий знак + и.

Обратная задача геодезии: даны координаты X₁ и Y₁ точки А начала линии АВ и координаты X₂ и Y₂ точки В – конца этой линии. Требуется определить дирекционный угол и длину этой линии.

Из рисунка следует, что:

tg α = (Y₂ - Y₁)/(X₂ – X₁);

d = √ (ΔX² + ΔY²);

или d = ΔX / cos r = ΔY / sin r;

Рис.. Прямая и обратная геодезическая задачи

Вычисление координат вершин теодолитного хода. Невязки в приращениях координат замкнутого полигона вычисляются, исходя из факта равенства нулю суммы проекций полигона на координатную ось. То есть: ΣΔX = 0 и ΣΔY = 0. Вследствие ошибок измерений фактическая сумма приращений координат нулю оказывается не равной.

Тогда ΣΔX = f_x и ΣΔY = f_y называются, соответственно, невязками в приращениях координат по оси абсцисс и оси ординат. Перед распределением невязок по координатам необходимо определить их допустимость по формуле:

f_p / P ≤ 1 / 2000,

где невязка в периметре f_p = , а Р – периметр полигона. Если невязка допустима, то невязки f_x и f_y распределяются с обратным знаком на каждое приращение ΔX и ΔY пропорционально длинам линий с округлением их до 0,01 м. Контролируют вычисления поправок в приращениях координат по ранее вычисленной сумме. Сумма исправленных приращений по каждой оси в замкнутом полигоне должна равняться 0.

После исправления приращений координат определяют координаты всех вершин полигона по исходной координате первой точки, привязанной к опорной геодезической сети. Контролем вычисления координат является последовательное вычисление координат точек замкнутого полигона, чтобы в результате получить координаты исходной точки.

Таблица: Ведомость вычисления координат основного полигона

№ вершин хода	Углы β	Дирекционные углы	Румбы	Длина линий, м	Приращения координат	Координаты	№ вершин хода
вычисленные	исправленные
Измеренные	Исправленные	град	мин		град	мин		±	ΔX	±	ΔY	±	ΔX	±	ΔY	±	X	±	Y
		+0,2
		10,5		10,7								+0,10		-0,02					+	500,00	+	500.00
		+0,2				40,0	СВ		40,0	335,29	+	329,50	+	62,06	+	329,60	+	62,04
		03,0		03,2								+0,05		-0,01					+	829,60	+	562,04
		+0,2				36,8	СВ		36,8	177,79	+	53,13	+	169,67	+	53,18	+	169,66
		32,0		32,2								+0,08		-0,01					+	882,78	+	731,70
		+0,2				04,6	ЮВ		55,4	257,28	-	220,71	+	132,21	-	220,63	+	132,20
		22,0		22,2								+0,05		-0,01					+	662,15	+	863,90
		+0,2				42,4	ЮЗ		42,4	185,82	-	167,43	-	80,60	-	167,38	-	80,61
		01,5		01,7								+0,05							+	494,77	+	783,29
		+0,2				40,7	ЮЗ		40,7	166,58	-	44,02	-	160,66	-	43,97	-	160,66
		49,8		50,0								+0,04							+	450,80	+	622,63
						50,7	СЗ		09,3	132,12	+	49,16	-	122,63	+	49,20	-	122,63
												-0,37		+0,05						500,00		500,00
Σβn		58,8		00,0
Σβt		00,0		00,0
fβ	-	01,2		00,0
fдоп	±	02,4

Σβ_т = 180 (n – 2);