Математическое ожидание (Арифметическая середина), вероятнейшая ошибка измерения, средняя квадратическая ошибка

Пусть, например, в геодезии измерена длина линии одним и тем же прибором несколько раз. В этом случае, зная сколько раз была измерена длина и её численные значения, полученные в каждом измерении, можно рассчитать среднее арифметическое значение по результатам полученных измерений.

X = (l₁ + l₂ + l₃ + … + l_n)/n =Σl_i /n; (1)

Где X – математическое ожидание или вероятнейшее значение измеренной величины, l_i – результат каждого измерения, n – общее число измерений.

Разности между математическим ожиданием и численным значением результата каждого измерения называются вероятнейшими ошибками измерений:

(2)

Сложив равенства (2) получим:

То есть арифметическая сумма вероятнейших ошибок измерения равна нулю. Этот факт является контролем при вычислениях точности измерений.

Для расчетов точности результатов измерений используется понятие о средней квадратической ошибке, которая для одного измерения вычисляется по формуле:

Где - сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка математического ожидания вычисляется по формуле:

Предельная ошибка случайной величины не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, то есть:

В геодезии принято представлять результаты оценки точности измерений в виде таблиц. Рассмотрим результаты измерений длины линии.

Таблица 1

№	Длина линии	Ошибка измерения (см)	Квадрат ошибки
	225,26	+6
	225,23	+3
	225,22	+2
	226,14	-6
	225,23	+3
	225,12	-8

X_ср = 225, 20; Σ = 0; Σ = 158; Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения: m = 5,6 см; Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку математического ожидания: M = 2,3 см.

В геодезии принято оценивать точность измерения длины по так называемой относительной ошибке, которую вычисляют с помощью деления абсолютной ошибки на длину линии. Для приведенного примера: 2,3/22 520 = 1/9800.