Первообразная и неопределенный интеграл

Def. Уравнение которое, кроме неизвестной функции и аргумента, содержат и производные искомой функции конечных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Причем высший порядок производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.

- неявное дифференциальное уравнение n -го порядка.

- явное дифференциальное уравнение n -го порядка.

Def. Частным решением дифференциального уравнения на невырожденном промежутке Х, называется любая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на этом промежутке. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим явное дифференциальное уравнение первого порядка:

Любое частное решение указанного уравнения называется первообразной функции и обозначается т.е. .

Example:

1˚. Если , то (т.к. ).

2˚. Если , то (т.к. ).

Из примеров видно, что одна и та же может иметь не одну первообразную.

Теорема (об общем виде первообразной). Если и две первообразные одной функции , то .

Δ ▲.

F˚. Первообразная функции на промежутке является первообразной этой же функции на любом невырожденном подпромежутке.

Def. Общее решение дифференциального уравнения называется неопределенным интегралом от функции (обозначается )

При этом:

Связь неопределенного интегрирования и дифференцирования:

1˚. ; 2˚. ; 3˚. .

Линейность неопределенного интеграла:

, .

Таблица неопределенных интегралов.