Предельный переход в равенствах и неравенствах

1⁰. Если функции, имеющие предел в некоторой точке совпадают на множестве сгущающемся в этой точке, то их пределы равны.

2⁰. Если последовательности, имеющие предел, содержат совпадающие подпоследовательности, то их пределы равны.

3⁰. Если функции совпадают в проколотой окрестности предельной точки, то их пределы равны в случае существования.

4⁰. Если две последовательности совпадают, начиная с некоторого номера, то их пределы существуют или не существуют одновременно, и в случае существования равны.

5⁰. Если из двух функций одна не превышает другой в проколотой окрестности предельной точки, то предел первой не превосходит предела второй в случае их существования.

6⁰. Если предел одной функции больше предела второй в некоторой точке, то существует проколотая окрестность этой точки, в которой первая функция больше второй.

∆ 1⁰,2⁰: , и имеется множество :

.

Тогда .

3⁰,4⁰: Во-первых: .

Во-вторых: .

6⁰: Пусть ; ; , тогда

,

.

Выберем ; ,

тогда .

5⁰: Пусть .

Докажем, что .

Доказательство здесь проведем от противного.

Допустив, что , получим по п.6⁰ ,

а это противоречит условию теоремы. ▲

и, наконец

Т⁰. (Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах).

Если две функции имеют общий предел и в окрестности предельной точки третья функция заключена между ними, то она имеет тот же предел.

∆ следует из 5⁰ и 6⁰.

Пусть ,

,

и, т.к. и ,

то

т.е. . ▲