Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В инженерной практике используют обычно два закона распределения: дифференциальный и интегральный. Дифференциальный закон распределения плотности вероятности каких-либо значений х показывает для каждого конкретного х вероятность события, заключающегося в том, что наугад взятое значение из множества X попадет в бесконечно малый интервал значений ∆ х около этого конкретного значения х:
при ∆ х →0.
Закон распределения плотности вероятности имеет следующие свойства:
f (x)≥0;
— условие нормировки;
вероятность попадания наугад взятых значений внутрь какого-либо интервала значений (от х1 до х2)равна:
Интегральный закон распределения каких-либо значений х (функция распределения) показывает для каждого конкретного значения х вероятность события заключающегося в том, что наугад взятое значение из множества X не превысит этого наперед заданного значения
F (x) = P [ X ≤ x ].
Функция распределения имеет следующие свойства:
F (x)— неубывающая функция;
F (–∞) = 0;
F (+∞) = 1;
вероятность попадания наугад взятых значений из множества внутрь какого-либо интервала значений (от х 1до х 2)равна:
P [ х 1< X < х 2]= F (x2) – F (х 1).
Интегральный и дифференциальный законы распределения однозначно связаны между собой:
.
На практике значения х размерные, поэтому одни и те же законы распределения, изображенные для х, измеренного в разных единицах измерения (взятые с разными масштабами), будут выглядеть по-разному. Для того чтобы этого избежать, вместо размерного х берут безразмерную величину . Здесь σх — среднеквадратичное значение х, равное корню квадратному из дисперсии:
;
— математическое ожидание значений х.
Тогда по оси абсцисс будет откладываться не х, измеренное в каких-либо реальных единицах (секундах, амперах,...), а безразмерное ξ, выраженное в долях от среднеквадратического отклонения процесса. Распределения вероятностей находят важное применение в качестве статистических моделей, описывающих длительность безотказной работы технических объектов и их элементов. Длительность безотказной работы является случайной величиной, точное значение которой зависит от большого числа случайных факторов, например, таких как производственные допуски, свойства материалов и изменения условий окружающей среды. После того как будет построена соответствующая вероятностная модель для длительности безотказной работы и получены оценки ее параметров, эту информацию можно использовать для прогнозирования надежности, разработки оптимальной методики начальной приработки, составления календарных графиков замены деталей, планирования профилактических мероприятий и т.д. В качестве статистических моделей времени безотказной работы наиболее часто используются распределение Вейбулла, распределение Рэлея и экспоненциальное распре-деление. Реже используются гамма-распределение, χ2 - распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.
Распределение Вейбулла
Плотность вероятности времени безотказной работы, распределенной по закону Вейбулла имеет вид [6]:
где η — параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных);
σ — параметр масштаба.
Обозначим 1/σ η = λ. Распределению Вейбулла соответствует интенсивность отказов
Интенсивность отказов и плотность распределения Вейбулла принимают самые разнообразные формы (рис. 2.13, 2.14). В частности, при η >1 распределение Вейбулла является одновершинным и интенсивность отказов возрастает с течением времени.
При η<1 плотность распределения имеет вид убывающей функции и с течением времени интенсивность отказов уменьшается (соответствует периоду приработки (см. рис. 2.10).
При η = 1 интенсивность отказов постоянна и распределение Вейбулла совпадает с экс-поненциальным. При этом выполняется равенство σ = 1 / λ, где λ— параметр экспонен-циального распределения.
При η = 2 распределение Вейбулла переходит в распределение Рэлея. При этом интен-сивность отказов является линейно возрастающей функцией времени.
Следовательно, путем подбора параметра η можно получить на каждом из трех участков такую теоретическую кривую λ(t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.
Определим основные показатели надежности для данной статистической модели.
Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме.
• Экспоненциальное распределение
Как было отмечено выше, экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы η = 1. Это распределение однопараметрическое, т.е. для записи расчетного выражения
достаточно одного параметра λ= const. Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону
p (t) = et/T . (2.39)
Таким образом, зная среднее время безотказной работы Г (или постоянную интенсивность отказов λ),можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.
Отметим, что вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее время Т,при экспоненциальном распределении будет менее 0,368:
р (T) = е –1 = 0,368. Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т, то есть интервал времени, на котором допустимо пользование экспоненциальной моделью, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись дисперсией времени безотказной работы. Как известно, если для случайной величины t задана плотность вероятности f(t) и определено среднее значение (математическое ожидание) Т, то дисперсия времени безотказной работы находится по выражению
(2.40)
и для экспоненциального распределения соответственно
(2.41)
Таким образом, наиболее вероятные значения наработки, группирующиеся в окрестности Т, лежат в диапазоне T ± = T ± T, т.е. в диапазоне от t =0 до t= 2 T. Очевидно, что объект может отработать и малый отрезок времени и время t =2 T, сохранив λ=const. Но вероятность безотказной работы на интервале 2 T крайне низка:
Важно отметить, что если объект отработал, предположим, время t без отказа, сохранив λ=const, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения λ=const.
Таким образом, отключение работоспособного объекта в конце интервала τ и новое его включение на такой же интервал множество раз приведет к пилообразной кривой
р (τ) = е–λτ (рис. 2.16).
Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: так как за все время t устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов. Конечно, никакой парадоксальности этот вывод не содержит, так как предположение об экспоненциальном распределении интервала безотказной работы означает, что устройство не стареет. С другой стороны, очевидно, что чем больше время, на которое включается устройство, тем больше всевозможных случайных причин, которые могут вызвать отказ устройства. Это важно учитывать при эксплуатации устройств, когда приходится выбирать интервалы, через которые следует производить профилактические работы, с тем чтобы сохранить высокую надежность работы устройства.
Модель экспоненциального распределения часто используется для априорного анализа, так как позволяет не очень сложными расчетами получить простые соотношения для различных вариантов создаваемой системы. На стадии апостериорного анализа (опытных данных) должна проводиться проверка соответствия экспоненциальной модели результатам испытаний.
В частности, если при обработке результатов испытаний окажется, что T = , то это явится доказательством экспоненциальности анализируемой зависимости [3].
Экспоненциальное распределение характеризует распределение времени безотказной работы сложных нерезервированных объектов и некоторых элементов, когда они подвергаются начальной приработке, а профилактическое обслуживание позволяет заменять детали до полного износа. Распределение Рэлея
Распределение Рэлея применяется в статистической теории связи, например, если случайный шум выделяется линейным детектором, то огибающая шума распределена по этому закону.
Плотность вероятности в законе Рэлея (рис. 2.17) определяется следующей формулой:
где σ* — параметр масштаба, равный моде этого распределения (мода равна значению случайной величины, соответствующему максимуму плотности распределения).
Интегральная функция распределения Рэлея имеет вид:
(2.43)
Интенсивность отказов при распределении Рэлея имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат, которая описывается следую-щим выражением
Вероятность безотказной работы объекта в этом случае рассчитывается по формуле
(2.3)
-
-
—
·
·
Рассмотрим средние удельные затраты на одном цикле работы устройства от замены до замены: Существуют и другие критерии оптимизации периода предупредительных замен. Так, могут быть заданы не стоимости предупредительной и аварийной замен, а их длительность. При этом будет необходимо минимизировать коэффициент простоя устройства.
Постановка задачи оптимизации профилактических замен с математической точки зрения зависит и от того, какая исходная информация известна. Например, если допустимы проверки во время эксплуатации, дающие возможность получить сведения о текущем состоянии контролируемого устройства, то стратегия проведения профилактических мероприятий может быть изменена.
При замене и ремонте по техническому состоянию периодически контролируется определяющий параметр блока, характеризующий его приближение к отказу или границе допуска. Решение о замене, ремонте или более подробной проверке блока принимается по результатам контроля. При этом значительно сокращаются трудозатраты на обслуживание, расход дорогостоящих агрегатов и деталей и одновременно повышается надежность.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2251 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!