Упражнение 75

Пусть {a_n} – последовательность, s_n= и t_n= - среднее арифметическое первых n её членов. Докажите, что сходимость a_n®а влечёт сходимость t_n®а, однако существуют расходящиеся последовательности, последовательности средних арифметических которых сходятся. Сходимость средних арифметических расходящихся последовательностей называется сходимостью по Чезаро. В математике частенько употребляются операции усреднения для «улучшения качества» объектов.

Augustin Louis Cauchy
(21/08/1789 – 23/05/1857)

Первым осознал необходимость точных формулировок и строгих доказательств в анализе.
У него также немало достижений в комплексном анализе. Именно он инициировал изучение групп перестановок. Его труды охватывают все разделы математики и математической физики и оказали огромное влияние на современников. Получил домашнее начальное образование от своего отца, закончил затем Политехническую Школу в Париже. Получив специальность инженера, уехал в Шербур, но в 1813 году вернулся в Париж и по настоянию Лагранжа и Лапласа оставил инженерное ремесло ради занятий математикой. Получив должность в Политехнической Школе, он вышел в отставку в 1830: после свержения Бурбонов он отказался давать клятву на верность новому правительству. В следующем году он занял Кафедру Математической Физики университета Турина (в то время столицы Сардинии). В 1833 свергнутый король Франции Карл Х пригласил Коши в качестве частного учителя для своего внука, герцога Бордо. В награду за службу, Карл пожаловал Коши титул барона. В1848, когда клятва на верность новому режиму была отменена, Коши вновь занял свой пост в Политехнической Школе. После переворота в 1851 году, клятва была вновь восстановлена, однако Коши был освобождён от обязанности приносить её. Его главными трудами являются «Курс анализа» 1821, «Инфинитезимальное исчисление» 1823, «Приложения инфинитезимального исчисления, Геометрия» 1826-1828, «Курс Механики», «Высшая Алгебра», «Математическая Физика».

Коши был необыкновенно продуктивен: он написал 789 статей относящихся к сходимости рядов, теории чисел, теории групп и подстановок, теории определителей, теории дифференциальных уравнений и функций. Именно он первым дал строгое доказательство формулы Тейлора и привёл её к современному виду. Большой вклад Коши внёс в механику и оптику, в теорию пластичности и упругости. Собрание его сочинений вышло в 27 томах.

Коши был убеждённым монархистом и католиком, и это создавало большие проблемы в его взаимоотношениях с коллегами. Нильс Хенрик Абель звал его «сумасшедшим католиком» Взгляды Коши были столь непопулярны среди математиков, что когда малоизвестный математик, а не Коши был избран на должность заведующего кафедрой, Коши, да и многие другие, решили, что причиной тому стали политические убеждения Коши.

Коши, как Карл Гаусс, Исаак Ньютон, Вольфганг Гёте и некоторые другие, (в отличие от многих примеров выдающихся деятелей науки и искусства) познал прижизненную славу, пользовался непререкаемым авторитетом. Репутация его, однако, омрачена приписываемой ему ролью в судьбах двух гениальнейших математиков (речь идёт об Абеле и, в особенности, об Эваристе Галуа).

Jean Le Rond d'Alembert
(17/11/ 1717 – 29/10/1783)

Даламбер был незаконнорожденным, и его мать подбросила младенца на ступеньки церкви St Jean Le Rond. Ребёнок был быстро найден и отнесён в приют для сирот. Под фамилией Даламбер Жан записался в колледж. После его окончания в 1735 году, Даламбер решил заняться юриспруденцией, но его настоящим увлечением оставалась математика, которой он посвящал всё своё свободное время. В 1738 году ему было присуждено звание адвоката, но к этому времени Даламбер уже успел разочароваться в своём выборе, и решил заняться медициной. Вскоре, однако, он пришёл к выводу, что и эта профессия не для него («ещё хуже, чем теология»!). В 1740 году Даламбер представил работу о механике жидкостей, которая вызвала похвальный отзыв Клеро. В мае 1741 Даламбер был принят в Парижскую Академию Наук. Он, однако, обладал отвратительным характером и способностью ссориться со всеми окружающими. Свой знаменитый принцип в механике, носящий его имя, он обнародовал в «Трактате о Динамике» в 1743. Даламбер считал механику такой же частью математики, как Алгебру и Геометрию. Он полагал, что вся она зиждется на основных метафизических принципах, как на аксиомах, из которых все наблюдаемые физические явления могут быть выведены строго логически, как теоремы. В отличие от Клеро, который занимался в то же самое время теми же проблемами, он недооценивал роль эксперимента и нередко из-за этого приходил к выводам, противоречащим наблюдаемым эффектам. В конце концов, он перессорился со всеми академиками, и в первую очередь с Клеро, благодаря которому он в своё время в Академию и попал.

В 1744 Даламбер опубликовал «Трактат о равновесии и движении жидкостей». Эта работа содержала подход альтернативный опубликованному Даниэлем Бернулли. Даламбер считал свой метод лучшим, но Бернулли не разделял эти взгляды. В 1747 году был приглашён к редактированию, вместе с Дидро «Энциклопедию». В 1751 вышел первым том с предисловием Даламбера, оцененным обществом, как работа гения. Им написаны большинство математических статей в этом издании, состоящим из 28 томов.

Даламбер первым начал изучать дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения к физике. Его работа «Размышления о главной причине ветров» представленная Прусской Академии наук на конкурс была удостоена приза, хотя и содержала в себе ложные физические предположения (о том, что ветры вызываются, главным образом, влиянием приливов на атмосферу, а не перепадами температур).

Эйлер оценил мощь методов Даламбера и вскоре значительно усовершенствовал их. Два математика вступили в интенсивную переписку. Вскоре, однако, их отношения испортились, потому что Даламбер посчитал, что Эйлер использует его идеи, не упоминая его при этом.

В Парижской Академии Наук Даламбер не мог публиковать свои работы, так как перессорился со всеми своими коллегами и в течение 50-х годов он посылал их в Берлинскую Академию. Однако, после того, как испортились его отношения с Эйлером, последний тоже не жаждал их публиковать. В итоге, Даламбер перестал публиковаться и там, собрал свои статьи вместе и опубликовал их отдельно в восьми томах, выходивших с 1761 по 1780. Король Пруссии Фредерик II уговаривал Даламбера принять пост Президента Академии, но Эйлер возражал. В своём письме Лагранжу Эйлер писал:
«Даламбер старался мелкими придирками поставить под сомнение моё решение проблемы вибрации струны единственно по причине того, что не он решил её ... Он считает, что может обмануть невежд своим красноречием. Он хотел опубликовать в нашем журнале не доказательство, а лишь утверждение о том, что моё решениеневерно. Из этого вы можете понять, какая брань разразится, если он станет нашим Президентом».

Эйлер, однако, опасался напрасно, ибо, во время своего визита в 1764 к Фредерику II, Даламбер вновь отверг предложение стать Президентом и пытался убедить короля сделать Президентом Эйлера. Также отверг он и предложение Екатерины II приехать в Россию в качестве учителя для её сына Павла.

В конце жизни Даламбер больше писал на литературно-философские темы. В 1754 он был избран членом, а в1772 непременным секретарём Французской Академии и много времени посвящал редактированию некрологов.

Начиная с 1765, после целого букета заболеваний, Даламбер жаловался, что не может больше сосредоточиться на математике. В своём письме Лагранжу в 1777 он писал:

«Что раздражает меня более всего, так это то, что Геометрией, которая интересует меня более всего, я как раз и не могу заниматься. Всё что я делаю в литературе, хотя и очень хорошо принимаемое публикой, для меня есть только способ заполнить время из-за отсутствия чего-либо лучшего».

Как признанный атеист, Даламбер был похоронен в общей, безымянной могиле.

Bernhard Riemann
(17/09/1826 – 20/07/1866)

Georg Friedrich Bernhard Riemann родился 17 сентября 1826 в Breselenz, Germany в семье пастора. Начальное образование получил в семье у отца. В школу пошёл 14 лет от роду. Боялся выступать перед аудиторией и любил решать головоломки. После окончания гимназии провёл год в Гёттингенском университете и уехал в Берлин, где учился у крупнейших математиков того времени (Якоби, Штайнер, Эйзенштейн). Вернулся в Göttingen in 1849 to finish his doctoral work. He submitted his thesis in 1851 to Gauss. It impressed Gauss, who said Riemann possessed a "Gloriously fertile originality." Riemann was later appointed to a post at Göttingen on Gauss's recommendation. During his time there, he wrote another thesis on mathematics. Published in 1854, it was called Über Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, which means About the hypotheses which are the basis of Geometry. This paper eventually became a classic of mathematics. In fact, Albert Einstein used its results in his relativistic theory of gravitation. After Gauss died in 1855, Dirichlet took over his position at Göttingen. He was in turn succeeded by Riemann. Riemann was at this time suffering from tuberculosis. He spent his remaining time travling between Germany and Italy trying to get better. Riemann died there in Selasca, Italy on July 20, 1866.

Franz Mertens
(20/03/1840 – 05/03/1927)

Franz Mertens was born into a partitioned Poland, the third of the three partitions took place in 1795 and split Poland between Russia, Prussia and Austria. Sroda, the village in which Mertens was born, was close to Poznan in Prussia. Mertens completed his university studies at the University of Berlin where he attended lectures by Weierstrass, Kronecker and Kummer. This was the "golden period" for mathematics in Berlin and gave Mertens the best possible mathematical foundations. In 1865 he obtained his doctorate with a dissertation De functione potentiali duarum ellipsoidium homogenearum. His advisors had been Kummer and Kronecker.

He worked first in the Jagiellonian University at Cracow, at this time part of the Austrian region of Poland, being appointed as an extraordinary professor in 1865, and then promoted to an ordinary professor in 1870. He was called to the Polytechnic in Graz in Austria in 1884 then, remaining in Austria, from 1894 he was an ordinary professor of mathematics at the University of Vienna. He retired in 1911 but, being made Professor Emeritus, he continued to give lectures. He supervised the doctoral theses of a number of excellent mathematicians while in Vienna. He also lectured to Schrödinger in mathematics at around the same time. Мертенс работал в нескольких областях, таких как теория потенциала, геометрические приложения детерминантов, алгебра и аналитическая теория чисел, опубликовав 126 работ.

[1] Конспект подготовлен на основе учебника У.Рудина «Основы математического анализа». «Мир»,М., 1966