Упражнение 27*

Постройте последовательность, множеством частичных пределов которой служит вся вещественная прямая.

Расширенной системой вещественных чисел называют вещественную прямую R вместе с добавленными к ней двумя символами, +¥ и -¥. Операции с ними устроены так:
-¥+х=-¥ "x, -¥×х=-¥ "х>0, -¥×х=+¥ "х<0, +¥+х=+¥ "x, +¥×х=+¥ "х>0, +¥×х=-¥ "х<0,

-¥<x<+¥ "x. Операции между ними, а также умножение их на ноль не определяются. Окрестностями этих двух добавленных точек являются, соответственно, все числа большие какого-то числа (меньшие какого-то числа). Таким образом, мы пишем р_n®+¥ если "M $N|n³N Þp_n>M. Аналогично определяют ®-¥.
Def. В расширенной системе вещественных чисел теперь рассмотрим множество Е всех частичных пределов последовательности вещественных чисел {f_n}. Тогда f^*=supE и f_*=infE называются соответственно верхним и нижним пределом последовательности {f_n}. Обозначают это, соответственно, как и .

Def. (Бесконечным) рядом называют последовательность {s_n} частичных сумм s_n= . Бесконечным произведением называют последовательность {s_n} частичныхпроизведений s_n= . Итак, оба понятия являются производными от понятия последовательности. Мы, если не оговорено противное, предполагаем все а_nÎC.

Опираясь на теорему о полноте вещественной и комплексной прямых, R и R²=C, докажите критерий Коши сходимости ряда: