Раздел 3. Теория погрешностей измерений

3.1.Что означает выражение, - измерить физическую величину?

Измерить физическую величину – это, значит, сравнить ее с другой, однородной с ней, принятой за единицу меры. Результат измерения – число, показывающее количественное соотношение между измеряемой величиной и единицей меры

n = L= / n l_0о, (3.18)

где l_0о – единица меры;

n – число уложений мерного прибора; результат измерения; L –измеряемая результат измерениявеличина.

Таким образом, измерение – это процесс нахождения количественной характеристики физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

3.

2. Какие бывают виды измерений?

Различают прямые (непосредственные) и косвенные (посредственные) измерения. При прямых измерениях значение измеряемой величины находят непосредственно из опытных данных. Примерами прямых измерений являются измерение длины линии рулеткой, угла – теодолитом, электрического напряжения – вольтметром, температуры – термометром и т.д. Прямые измерения являются основой более сложных измерений.

При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величины находится на основании известной зависимости этой величины и величинами из прямых измерений. В качестве примера приведем определение расстояния между точками А и С местности.

Рис. 3.15. Пример косвенных измерений

На рис.3.15 величины α, β, и b измерены непосредственно (прямо), а результаты этих измерений использованы для вычисления длины стороны АС по формуле (3.26).

В качестве примеров косвенных измерений можно также привести: определение плотности однородного тела по его массе и геометрическим размерам; нахождение удельного сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения; вычисленияе объема параллепипеда по результатам измерения его длины, ширины и высоты и т.д.

3.3. Что такое необходимые и избыточные измерения?

Если одна и та же величина измерена n раз, то одно из этих измерений является необходимым, а остальные (n – 1) избыточными (добавочными).

Избыточные измерения производятвыполняют с целью контроля правильности полученных результатов измерений. Кроме того, они позволяют определить более надежное значение искомой величины. При достаточно большом числе избыточных измерений можно судить о точности выполненных измерений.

3.4. Какие факторы оказывают влияние на точность измерений?

Из всей практики измерений установлено, что производя многократные измерения одной и той же величины, мы не получаем одинаковых результатов, как бы тщательно ни старались производить измерения. Этот факт указывает на то, что получаемые результаты не являются точными значениями измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Следовательно, результат измерения всегда содержит погрешность ∆

∆=L l_i –X, (3.310)

где L l_i – результат измерения;

X – истинное значение измеряемой величины.

Источниками погрешностей измерений являются все участники процесса измерения: измерительный прибор (инструментальные погрешности); наблюдатель (личные погрешности); внешняя среда, в которой выполняются измерения (внешние погрешности); методика измерений (погрешность, обусловленная несовершенством принятого метода измерения).

3.5. Какие измерения относят к равноточным, а какие к неравноточным?

К равноточным измерениям относят результаты, полученные приборами одинаковой точности, в одинаковых внешних условиях, наблюдателями одинаковой квалификации с применением одной и той же методики и т.д.

Если результаты измерений получены с отступлением от выше перечисленных требований, то такие измерения называют неравноточными.

3.6. Какие погрешности относят к грубым, систематическим и случайным?

Любая погрешность результата измерения есть следствие действия значительного числа факторов, каждый из которых порождает свою погрешность, которую называют элементарной. Таким образом, погрешность результата измерения является алгебраической суммой элементарных погрешностей.

По характеру действия различают погрешности: грубые, систематические и случайные.

Грубыми погрешностями (промахами) называют такие, которыепогрешности, превосходящие по своей абсолютной величине превосходят некоторый установленный для данных условий измерений предел. Они происходят чаще всего из – за невнимательности наблюдателя или неисправности измерительного прибора. Для исключения возможности появления грубых погрешностей все измерения должны выполняться с контролем., т.е. наряду с необходимыми, всегда выполнять и избыточные измерения. Поэтому грубые погрешности не рассматриваются при анализе точности выполненных измерений.

Систематическиеая погрешностиь это являются составнойляющая частью общей погрешности измерения,. Они или остающаясяостаются постояннымиой при повторных измерениях одной и той же физической величины, или же закономерно изменяютщаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности чаще всего связаны с измерительными приборами.

Случайные погрешности также являются составной частью общей погрешности измерения. Они представляют собой совокупность элементарных погрешностей, величины которых изменяются случайным образом (и по знаку, и по значению) в серии повторных измерений. Случайные погрешности неизбежны и всегда сопровождают процесс измерения. Закономерности случайных погрешностей проявляются в своей массе и обусловлены всеми факторами. Их влияние на результат может быть ослаблено повышением качества и числа измерений, а также надлежащей математической обработкой результатова измерения.

Таким образом, погрешность измерения ∆ является суммарной погрешностью, слагаемыми которой являются систематическая λ и случайная ε. Следовательно

∆ = λ + ε. (3.411)

3.7. Приведите примеры проявления систематических погрешностей в результатах геодезических измерений?

Пример 1. При геометрическом нивелировании визирная ось зрительной трубы должна быть горизонтальной, а рейка отвесной.

а1

а 1 а 2 а 3

Рис. 6. Влияние наклона рейки на погрешность в отсчете

Рис.3.2.Влияние наклона рейки на погрешность в отсчете

Добиться вертикальности рейки, не имея дополнительных приспособлений (уровня, отвеса), очень трудно. Поэтому при нивелировании рейка всегда наклонена на некоторый угол (положение 1 или положение 3), а значит, отсчет по рейке всегда имеет систематическую погрешность λ = a₁ – a₂ или λ = a₃ – a₂. Её величинаАбсолютное значение λ зависит от угла наклона рейки и от величины высоты проекции визирного луча на рейку (величины отсчета по рейке). В тех случаях, когда отсчет по рейке близок к нулю, погрешность минимальна и наоборот.

Исключить данную погрешность из отсчета по рейке можно несколькими способами.

Способ первый. Измерить угол наклона рейки, вычислить поправку и ввести в отсчет по рейке со знаком минус.

Второй путьСпособ второй. Установить на рейке уровень и тем самым с его помощью добиваться установки рейки в отвесное положение. Так поступают при высокоточном нивелировании.

Способ третийТретий путь. Покачивать рейку из положения 1 в положение 3. Тогда при прохождении рейки через отвесное положение 2 отсчет по рейке будет минимальным, что хорошо фиксируется наблюдателем. Значит этот отсчет свободный от не вертикальности рейки. Так поступают на практике при техническом нивелировании.

Пример 2. Рулеткой выполняли разбивку осей здания при температуре

-20^◦С. Вычислить погрешность измерения, связанную с температурой окружающей среды.

Известно, что при изменении температуры длина рулетки изменяется. Величина в изменения зависитмости от материала изготовления. Для стальной рулетки это изменение равно

λ = 1.25*10^-6*l₀ (t_i – t₀). (3.512)

Если t₀ =20^◦С, а l₀ =50,000м., то получим λ= - 25мм. Следовательно, если выполнено одно уложение мерного прибора, то погрешность составит 25 мм. Данная пПогрешность носит систематический характер для данных условий измерений и исключить ее можно только введением поправки.

Приведем еще несколько примеров систематических погрешностей, встречающихся при измерении длин линий и при создании разбивочных геодезических сетей:

· погрешность из – за отклонения рулетки от створа измеряемой линии;

· погрешность, связанная сиз – за отклонениемя фактической длины рулетки от номинальной (погрешность компарирования);

· погрешность редуцирования длины линии на горизонтальную плоскость, вызванная погрешностью измерения угла наклона или превышения;

· погрешность, связанная с неудовлетворительной подготовкой створа линии к измерению (в створе имеются отвалы земли или складированы конструкции).

3.8. Назовите свойства случайных погрешностей?

Случайные погрешности представляют собой совокупность элементарных погрешностей, величины которых не могут быть выявлены и учтены в виде поправок к измеренным величинам. Арифметическая средина (математическое ожидание) каждой элементарной случайной погрешности пренебрегаемо малао, то есть равноблизка к нулю. Примерами случайных погрешностей являются:

· погрешности отсчитывания по шкалам прибора;

· погрешности, вызываемые небольшими отклонениями расположения геометрических осей прибора от конструктивных

· погрешности, вызываемые изменением параметров приборов

из – за малых изменений внешних условий и т. д.

Несмотря на то, что случайные погрешности неизвестны ни по абсолютной величине, ни по направлению и поэтому не могут быть исключены из результата измерения, они подчиняются определенным закономерностям:

·1 свойство симметрии относительно нуля – положительные и отрицательные погрешности равновероятны;

·2. свойство компенсации – предел среднего арифметического из алгебраической суммы случайных погрешностей при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю, т.е.

lim∑ε / n→0 при n→∞; (3.6)

· 3. свойство плотности – малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются чаще, чем крупные;

· 4. свойство рассеивания – для ряда случайных погрешностей, - полученных в результате равноточных измерений, сумма квадратов, деленная на их число, при неограниченном возрастании последнего стремится к некоторому пределу σ² , величина которого определяется условиями измерений, т.е.

lim∑ε² / n→ σ² = m² при n→∞, (3.7)

где σ – стандарт (средняя квадратическая погрешность измерений);

· 5. свойство ограниченности – случайная погрешность по абсолютной величине не может превзойти некоторого предела (предельная погрешность), зависящего от условий измерений;

Приведенные выше свойства случайных погрешностей основываются на гипотезе: погрешности подчиняются нормальному закону распределения и их математическое ожидание равно нулю (полностью отсутствуют систематические погрешности).

3.9. Что является количественнойачественной характеристикой точности измеренной величины?

Для оценки точности результатов измерений используют следующие критеркачественные характеристики.ии.

1. Средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле Гаусса

m = , (3.813)

где ε – случайные погрешности.

2. Средняя квадратическая погрешность m, вычисляемая по формуле Бесселя

m = -1, (3.914)

где v – уклонения от арифметической средины.

3. Средняя погрешность υ – среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей

υ = [|ε|]/n. (3.1015)

т.е. υ – среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей, взятых по модулю.

4. Вероятная погрешность r, которая является случайной погрешностью, больше или меньше которой по абсолютной величине погрешности равновозможные. Т. е. Оона находится в середине ряда погрешностей, если их абсолютные значения расположить по степени возрастания.

Из названных четырех критериев наибольшее распространение получили первые два.

Средняя квадратичекая погрешность обладает целым рядом положительных свойств по сравнению с другими:

· является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом числе измерений;

·

· наиболее полно характеризует качество измерений;

· на ее величину существенное влияние оказывают большие по абсолютной величине погрешности, которые по существу и определяют точность измерений;

· имеется возможность определить, с какой степенью доверия получается сама средняя квадратическая погрешность, по формуле

m_m = m/ 2n. (3.1116)

3.10. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность при наличии эталонного значения измеряемой величины?

Ответ на этот вопрос рассмотрим на примере обработки результатов эталонирования светодальномера на высокоточном базисе.

Пример3. При Для исследованияи точности измерения длин линий светодальномером СТ-5 «Блеск» был измерен базис 10 приемами. Длина базиса известна с высокой точностью и равна Χ=283,567 м. Результаты измерений и вычислений приведены в табл.3.1.

Порядок вычислений:

1). Находят разности между измеренным значением и истинным ∆_i=l_i –X и проверяют принадлежность ряда ∆_I к случайным погрешностям. В данном случае

· число положительных погрешностей рано 4, а число отрицательных – 6. Следовательно, первое свойство выполняется вполне удовлетворительно, так как число измерений невелико, n =10;

· сумма ∆ не равна нулю, следовательно, ряд содержит систематическую погрешность λ.

Таблица 3.12 Результаты обработки исследований светодальномера СТ-5

№ измерения	Результаты Измерения L,м	∆, мм	λ, мм	ε, мм	Вычисления
	293,562	-5	-2,6	-2,4	1) ∑∆/n=-2,6мм
	293,568		-2,6	3,6	λ = - 2,6 мм
	293,570		- 2,6	5,6	2) ∑ ε =0
	293,560	-7	- 2,6	-4,4	3) ∑ ε2 = 242,4
	293,555	-12	- 2,6	-9,4	m= ∑ ε2/n=4,9мм
	293,565	-2	- 2,6	0,6	4)m m = 1,1мм
	293,568		- 2,6	3,6	5) mпред = 3 m = 14,7мм
	293,572		- 2,6	7,6	6) mотн =1/60000
	293,561	-6	- 2,6	-3,4
	293,563	-4	- 2,6	-1,4

2). Вычисляют значение систематической погрешности

λ = ∑∆/n (3.12)

и исключают её из всех членов ряда ∆, тем самым получают ряд случайных погрешностей ε_i = ∆_i – λ.

3). Вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Гаусса (3.8);

4). Вычисляют погрешность самой погрешности m _m = m /√2n;

5). Вычисляют предельную погрешность как утроенное значение средней квадратической;

6). Находят относительную среднюю квадратическую погрешность как m /Х.

В геодезии относительную погрешность измерения длин линий всегда записывают в виде аликвотной дроби, т.е. 1/(Х/m). В знаменателе этой дроби, оставляют столько значащих цифр, сколько их содержит m, а остальные заменяют нулями.

№ изме рения	Результаты измерения, li,м	∆, мм	λ, мм	ε, мм	Вычисления
	293,562	-5	- 2,6	-2,4	1) ∑∆/n=-2,6мм
	293,568		- 2,6	3,6	λ = - 2,6 мм
	293,570		- 2,6	5,6	2) ∑ ε =0
	293,560	-7	- 2,6	-4,4	3) ∑ ε2 = 242,4
	293,555	-12	- 2,6	-9,4	4) m= ∑ ε2/n=4,9мм
	293,565	-2	- 2,6	0,6	5) m m = 1,1мм
	293,568		- 2,6	3,6	6) mпред = 3 m = 14,7мм
	293,572		- 2,6	7,6	7) mотн =1/60000
	293,561	-6	- 2,6	-3,4
	293,563	-4	- 2,6	-1,4

Порядок вычислений:

Находят разности между измеренным значением и истинным ∆i=li –X;

Проверяют принадлежность ряда ∆I к случайным погрешностям:

·число положительных – 4, число отрицательных – 6, первое свойство выполняется вполне удовлетворительно, так число измерений n =10;

·сумма ∆ не равна нулю, следовательно, ряд содержит систематическую погрешность λ.

·вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Гаусса;

·вычисляют предельную погрешность как утроенное значение средней квадратической;

·вычисляют погрешность самой погрешности m m = m /√2n

находят относительную среднюю квадратическую погрешность как m /Х. 3.

11. Как выполнить оценку точности результатов измерений, если эталонное значение измеряемой величины отсутствует?

Решение данной задачи можно показать на предыдущем примере, если

предположить, что точное значение измеряемой величины Х отсутствует.

Порядок вычислений:

· находят арифметическую середину из результатов измерений, как L_ср = ∑ L_i/n;

· вычисляют уклонения от арифметической середины υ = L_i - L_ср.;

· вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя m= ∑ υ²/ (n-1);

· определяют среднюю квадратическую погрешность самой погрешности по формуле m _m = m 2 n;

· находят предельную погрешность как m_пред =3 m;

· вычисляют относительную среднюю квадратическую погрешность m_отн = m / L_ср;

· вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины M_Lср = m /√ n;

· записывают окончательный результат как L_ср ±3 M_Lср.

Таблица 3.2. Результаты обработки исследований светодальномера СТ-5

№ измерения	Результаты Измерения L,м	υ, мм	Вычисления
	293,562	-5	1)∑ Li/n = 293,5644м
	293,568
	293,570		2) ∑ υ2 = 242,4мм2
	293,560	-7	3) m =√ ∑ υ2 /(n-1)=5,2мм
	293,555	-12	4) m m = m /√2 n = 1,2 мм
	293,565	-2	5) mпред = 3 m = 15,6мм
	293,568		6) mотн. = 1 / 56000
	293,572		7)MLср. = 1,6мм
	293,561	-6	8) Lср. = (293,564±0,005)мм
	293,563	-4
№ изме рения	Результаты измерения, li,м	υ, мм	Вычисления
	293,562	-2,4	1) ∑ li / n=293,5644м
	293,568	3,6	2) ∑ υ2 = 242,4
	293,570	5,6	3) m= ∑ υ2/ (n-1)=5,2мм
	293,560	-4,4	4) m m = 1,2мм
	293,555	-9,4	5) mпред = 3 m = 15,6мм
	293,565	0,6	6) mотн =1/56000
	293,568	3,6	7)М lср =1,6мм
	293,572	7,6	lср=(293,564±0,005)м
	293,561	-3,4
	293,563	-1,4

Порядок вычислений:

·находят арифметическую середину из результатов измерений, как l_ср = ∑ l_i / n;

·вычисляют уклонения от арифметической середины υ = l_i - lср;

·вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя m= ∑ υ²/ (n-1);

·определяют среднюю квадратическую погрешность самой погрешности по формуле m _m = m 2 n;

·находят предельную погрешность как m_пред =3 m;

·вычисляют относительную среднюю квадратическую погрешность m_отн = m / l_ср ;

·вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины М _lср = m /√ n;

·записывают окончательный результат как l_ср ±3 М _lср.

·3.

12. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность функции измеренных величин?

Средняя квадратическая погрешность функции z=f(x,y,….t) измеренных величин (косвенных измерений) равна

m_z² = m_x² + m_y² +…..+ m_t². (3.1317)

Следовательно, для оценки точности функции измеренных величин, необходимо написать вид функции, найти частные производные и подставить их в (3.1317).

Пример 4.р3. Вычислить горизонтальное проложение линии и еёго среднюю квадратическую погрешность, если длина линии, измеренная рулеткой, равна D=100,00 м, m_D =0,10 м, угол наклона линии равен ν=30º 00,0´, m_ν =1′.; ρ´=3438´.

Функция имеет вид d= D Cos ν. Формула (3.137) для данной функции примет вид

m_d² = m_D² + m²_ν/ρ² (3.14) 18)

или или m_d² = Cos²ν m_D² + D² Sin²ν m_ν²/ρ². ((3.1519)

Подставив сюда значения параметров, получим m_d=0,10 м.

Примечание. При отысканиивычислении средних квадратических погрешностей функций, в которые входят тригонометрические функции, среднюю квадратическую погрешность угла необходимо разделить на значение числа градусов (минут, секунд) в радиане, в зависимости от размерности погрешности угла, т.е. привести погрешность угла к безразмерному виду.

3.13. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность арифметической средины?

Арифметическая средина есть функция измеренных величин. Она имеет вид

L_○ l_○=[ Ll_i ]/n (3.16)

или

L_○ l_○= l₁ / n+ l₂ / n + + l _n / n, (3.17)20)

Аа, следовательно, в соответствии с (3.13) имеем

M² _{l○ L○} = m²_l1/ n² + m²_l2/ n² + m²_l3/ n² +…..+ m²_{l n} / n²

или M _L○M _l○ = m/√n. (3.1821)

3.

14. Можно ли на стадии проекта рассчитать число измерений, чтобы получить результат с заданной точностью?

Да можно. Из формулы (3.1821) следует, чтополучим

n = m²/ M² _L○ M_l○² . (3.1922)

Пример 5 4. Сколько приемов измерений горизонтального угла необходимо выполнить теодолитом 2Т30П, длячто бы получитьения его с точностью M_β○M _l○=10″ теодолитом 2Т30П?

Так как точность теодолита m=30″, а средняя квадратическая погрешность M_β○ не должна превышать 10″ то, подставляя в (3.1922) исходные данные, получим n=9 приемов.

Примечание. Однако Сследует помнить, что данные расчеты справедливы при отсутствии систематических погрешностей!

3.15. Что такое неравноточные измерения?

К неравноточным измерениям относятся результаты измерения одной и той же величины, выполненные приборами различной точности; различным числом приемов, приборами разной точности, в различных условиях измерений и т.д. То есть к неравноточным измерениям относятся те, результаты которых имеют разные средние квадратические погрешности.

3.16. Что такое вес результата измерения?

Для совместной обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие веса. Весом р называют величину, обратно пропорциональную квадрату средней квадратической погрешности

p_i =µ/m_i², ((3.202)

где µ - const, коэффициент пропорциональности, постоянный для данной группы измерений.

m_i- средняя квадратическая погрешность i-го результата измерения.

Вес характеризует степень надежности результата измерения, степень доверия к результату измерения. Чем больше вес, тем выше к нему степень доверия по отношению к другим результатам того же ряда.

Пример 65. В треугольнике измерены углы α, β и γ соответственно теодолитами Т30, Т5 и Т1. Сумма углов в треугольнике составила 180º00′55″. Определить веса результатов измерений и какоей из угловних внесло наибольший вклад в формирование невязки?

В соответствии с формулой (3.2022) имеем: P₁ =µ/900; P₂ =µ /25;,P₃ =µ/1. Если принять значение µ=1″, то получим P₁=1/900; P₂ = 1/25; и P₃ =1.

Наибольший вес имеет результат измерения угла теодолитом Т1, поэтому результату измерения этогому углуа наибольшее доверие. Наименьший вес имеет результат измерения угла теодолитом Т30. Очевидно, этот результат имеет наибольшую погрешность, поэтому при распределении невязки угол α получит наибольшую поправку (обратно пропорционально весам).

3.

17. Как вычислить арифметическую средину при неравноточных измерениях?

Пусть имеем результаты неравноточных измерений одной и той же величины l_1, l_2, l_3, ………. l_n и их средние квадратические погрешности m_1l1, m_l22,... m_lnn. Вычислить среднее арифметическое из этого ряда измерений.

Для решения задачи сначала вычисляемяют веса

p₁ = µ/m _l1², p₂ = µ/m_l2², p₃ = µ/m_l3², …… p_n = µ/m_ln², (3.213)

а затем находим значение общей арифметической средины по формуле

L_0ср = (p₁ l₁ + p₂ l₂ + p₃ l₃ +……+ p_n l_n )/ [p],

или L_ср0 = [p_il_i]/ [p]. (3.224)

Пример7 6. Один и тот же угол измерен теодолитом 2Т30П

(β₁=35º 15,5′) и Т5 (β₂ =35º 15,1′). Вычислить среднее значение угла.

Так как приборы имеют различную точность, то необходимо сначала установить веса результатов измерений. Очевидно, что Р_β1=µ/m_β1 ², а Р_β2=µ/m_β2 ². Примем µ = 100, тогда Р_β1 = 0,11 и Р_β2 = 4. В соответствии с (3.224) получим

β₀β₀= 35º 15,0′ + ((0,5*0,11+0,1*4)/4,11)= 35º 15,1′.

Как видим из примера, измерение угла теодолитом 2Т30П ни как не оказало влияние на среднее значение угла, то есть было бесполезным. В тоже время, если не учитывать веса измеренных углов, то среднее значение угла будет равно β = 35º 15,3′. Различие существенное.

В качестве константы µ целесообразнее принимать не обезличенное число, а квадрат средней квадратической погрешности одного из результатов измерений. В рассматриваемом примере в качестве µ можно принять m_β1 или m_β2. В этом случае µ есть средняя квадратическая погрешность единицы веса.

3.18. Как оценить точность арифметической средины из неравноточных измерений?

Очевидно, что как и при обработке ряда равноточных измерений, точность арифметической средины выше, чем точность любого отдельно взятого результата, входящего в вычисления. Она равна

M_l0 = µ / √[p]. (3.2325)

В выше разобранном примере 7 6 примем в качестве µ значение квадрата средней квадратической погрешности, = 30″ т.е. µ = m_β1². Тогда Р_β1= 1, а Р_β2 = 36., а В этом случае [p] = 37. Подставив в (3.235), имеем M_β0 = 4,9″.

Такой же результат получим и при других значениях µ. Например, в качестве µ примем m_β2 = 5″. Получим M_β0 = 5″/√1,0277 = 4,9″.

3.19. Какие другие качественные параметры измерений можно принимать в качестве весов (кроме средних квадратических погрешностей)?

В качестве весов измерений можно принимать и другие качественные характеристики, значения которых пропорциональны величинам средних квадратических погрешностей. К ним относятся: число приемов измерений; невязки геометрических фигур; длины нивелирных и теодолитных ходов и т.д.

Очень часто приходится обрабатывать ряды измерений, компоненты которых являются средними арифметическими, но полученными при разном числе измерений. Покажем, что в этих случаях за вес можно принимать число измерений, на основе которых получена арифметическая средина.

Если в значение веса p_i = µ/m_i² подставить вместо средней квадратической погрешности i – го измерения подставить m_i среднюю квадратическую погрешность арифметической средины M _l○ = m/√n, то получим её вес P_l○ = µ n/ m _i². Принимая µ = m _i² , будем иметь

P_l○ = n. (3.246)

Пример 8. 7. На учебной практике одну и ту же линию измеряли 4 бригады. Причем первая бригада измерила линию 4 раза, вторая – 10 раз, третья – 6 раз, четвертая – 2 раза. Каждая бригада вычислила среднее арифметическое из своих результатов. Найти общую арифметическую средину из всех измерений?

Таблица3.3.Результаты измерений и вычислений

№ бригады	Длина линии,м	p=n	δ, мм	ν, мм	Вычисления
	118,354			-4	Δ=∑δί pί /∑p= 8.4 мм
	118,362			+4	L0=118.350 +0,0084=118,358 м
	118,358				µ = √∑ pίv2ί /(n-1) = 10,8 мм
	118,350			-8	Ml0 =µ / √∑pί =2,3 мм

Таблица 4.Результаты измерений и вычислений

№ бригад	Длина линии,м	р= n	δ, мм	v мм	В ы ч и с л е н и я
	118,354			-4	Δ=∑δί pί /∑p= 8.4мм
	118,362			+4	L0=118.350 +0,0084=118,358 м
	118,358				µ = √∑ pίv2ί /(n-1) = 10,8мм
	118,350			-8	Ml0 =µ / √∑pί =2,3мм

l_приб.=118,350 м ∑p=22 L₀= L₀ =118,358 м±7 мм.

При наличии ЭВМ или калькулятора вычисление общей арифметической средины и её оценку точности необходимо вести по формуле (3.215). а её оценку точности по формуле (3.23). Однако в отдельных случаях более экономичным и оправданным является схема вычисления, изложенная в табл.3.3.4. Здесь l_приб.- приближенное значение искомой величины. Обычно в качестве таковой принимают наименьшее значение из измеренных. Далее находят уклонения результатов измерений от приближенного значения, т.е. δ_ί=l_i - l_приб, а затем вычисляют поправку к приближенному значению как Δ=∑δ_ί p_ί /∑p. Прибавив значениепоправку Δ к приближенному значению, получаем искомую арифметическую средину L₀..

Оценку точности, так же как и при обработке равноточного ряда, выполняют по формуле Бесселя, применительно к неравноточным измерениям

µ = √∑ p_ίv²_ί /(n-1), (3(.257)

где µ – средняя квадратическая погрешность измерения одним приемом;

v – уклонения от арифметической средины.

По формуле (3.23) вычисляют сСреднююяя квадратическуюая погрешность общей арифметической средины. вычисляется по формуле (25).

Так же как и при обработке равноточных измерений, предельную погрешность принимают равной утроенному значению средней квадратической погрешности. В рассматриваемом примере,

M_l0 =2,3мм, а 3M_l0 =7мм.

3.20. В геодезии часто выполняют измерения и вычисления разнородных величин. Что в этих случаях считается равноточными измерениями?

Действительно, в геодезии часто значение функции определяетсянаходится из результатов угловых и линейных измерений. Поэтому проблема равноточности таких измерений является существенной. Если точность угловых измерений ниже точности линейных, или наоборот, то в результате точность одних может совершенно не оказывать влияния на конечный результат. При уравнительных вычислениях, выполняемых на основе решения линейных уравнений высокого порядка, такая ситуация ведет к резкой потере точности их решения из – за снижения обусловленности матриц. Поэтому проблема установления весов разнородных измерений является актуальной и всегда желательно, чтобы p_s = p_β. до настоящего времени.

Ниже на примерах покажем некоторые приемы предвычисления точности угловых и линейных измерений в простейших геометрических построениях.

Пример 9. 8. Для определения превышения между точками A и B местности былио измереноы горизонтальное проложениедлина линии Dd_AB и угол наклона линии ν (рис.3.37).

Рис. 3.37.Определение превышения h_AB

Превышение h_AB в этом случае равно

h_AB=D d_AB tgSinν_AB. (3.26)

Пусть D_ABd_AB =100 м, а угол наклона ν_AB = 10º. может быть измерен теодолитом 4Т30П, т.е.

Поставим условие, что m_ν =30″. С какой максимально возможной точностью можно получить превышение h_AB? угол наклона измерен теодолитом 2Т30П, т.е со средней квадратической ошибкой Сm_ν= 30". С какой точностью необходимо измерятьизмерить длину линии, чтобы влияние угловых и линейных измерений на точность превышения было одинаковое?

Для решения этого вопроса, в В соответствии соответствии с принципом оценки точности функции измеренных величин, напишем

m_h² =Sin²ν m² tg2ν m_dD² + (Dd² /cos²⁴ν) m_ν²/ρ² . (3.278)

Так как в данном примере поставлено ограничение на точность измерения угла наклона, то в формуле (28) первое слагаемое должно быть равно нулю, т. е. погрешность измерения длины линии равна нулю. Тогда погрешность превышения зависит только от угловых измерений т.е.

m_h² = (d² /cos⁴ν) m_ν²/ρ² или m_h =15мм.Совершенно очевидно, что погрешности угловых и линейных измерений окажут одинаковое влияние на точность определения превышения, если

Для ответа на второй вопрос необходимо в формуле (3.278) поставить условие равенства слагаемых, т.е.

Sinν m_D = (D cosν) m _ν /ρ. (3.28)

Откуда m_D = (D/ tgν) m _ν /ρ. tg²ν m_d² = (d² /cos⁴ν) m_ν²/ρ². Подставив сюда исходные данные, получим m_d m_d =158,2мм, или в относительной мере.m_d/D=1:12000. Средняя квадратическая погрешность измеренного превышения, при таких параметрах, составит m_h =20мм. В этом случае каждое из слагаемых формулы (3.27) вносит в погрешность определения превышения 14мм.

Таким образом в данном примере под равноточностью угловых и линейных измерений следует понимать измерение угла наклона с точностью m_ν = 30″, а длины линии m_d =15мм. В этом случае превышение будет определено с точностью m_h= 21мм.

3.21. Известно, что положение точки на плоскости определяется двумя координатами (x,y). Как в этом случае выполнить оценку точности?

Решение поставленного вопроса рассмотрим на примере разбивки осей сооружения способом полярных координат.

Пример.10. 9. Пересечение осей сооружения (точка О) строитсявыносится на местностиь полярным способом полярных координат, т.е. построениемоткладыванием проектного угла β от стороны АВ и проектного расстояния (рис.3.48) от полигонометрическогоих знакаов А и В разбивочной геодезической сети. Пусть Ппри этом = 20,000 м; , , и , . Найти проекции погрешностей данного построения на оси прямоугольных координат.

Вычислим дирекционный угол стороны АО: α = α_о + β = 60^о00,0'.

Рис.3.с. 4. Схема построения на местности проектной точки

Средняя квадратическая погрешность откладывания расстояния () носит название продольной погрешности, а откладывания угла в линейной мере называется – поперечной погрешностьюи .

В силу двумерностидвухмерности положения точки на плоскости область ее определения представляет эллипс рассеивания с длинами полуосей и . В частном случае, когда = (условие равноточности угловых и линейных измерений), эллипс вырождается в окружность. Это наиболее благоприятный случай, хотя иногда по условиям проекта важно, чтобы продольная погрешность была значительно меньше поперечной « или наоборот » .

КромеЗная и несложно вычислить погрешности по любому другому направлению и, в частности, по осям прямоугольных координат. Запишем функции перехода от полярных к прямоугольным координатам в виде

, (3.29)

. (3.30)

Частные производные будут имеють вид

.

Подставляя их в (3.1323), получим

, (3.31)

, (3.32)

где ρ – число секунд или минут в радиане в зависимости от размерности .

Длина линии должна быть выражена в той же размерности, что и .

Подставляя исходные данные в формулы (3.31) и (3.32), будем иметь:

мм

мм

мм,

мм.

Задача решена, но в практике оценки точности положения точки на плоскости часто вычисляют, кроме названных погрешностей, еще так называемую среднюю квадратическую погрешность положения

. (3.33)

или

Формула (3.33) находит широкое применение не только для анализа точности положения определяемой на местности точки в результате откладывания проектных расстояний и углов, но и для предвычисления точности откладывания расстояния и полярного угла, когда точность положения точки задана проектом (обратная задача). В этом случае чаще всего применяют так называемый принцип равных влияний погрешностей измерения расстояния и полярного угла, то есть приравнивают слагаемые в (3.33)

. (3.34)

Подставляя (3.34) в (3.33), получим

, (3.35)

а зная величину М (задана проектом), находим отсюда

. (3.36)

В приведенном примере показан подход использования оценки точности функции для расчета погрешностей положения осей здания при разбивке их полярным способом и одновременно подход к предрасчету точности откладывания полярных расстояний и углов, когда точность положения пересечения осейи здания задана нормативным документом.

3.22. Что такое невязка?

В геодезической практике кроме необходимых измерений всегда выполняют и избыточные измерения, связанные математическими соотношениями с необходимыми. Например, для решения треугольника, необходимодостаточно измерить два угла и сторону. Однако, как правило, измеряют все три угла. Следовательно, одно измерение является избыточным.

Избыточные измерения позволяют надежно контролировать выполненные измерения, осуществлять оценку точности и повышать точность определяемых величин. Контроль измерений осуществляется вычислением невязки и сравнением ее с допустимой. Если вычисленная невязка меньше допустимой невязки, то измерения не содержат грубых погрешностей, в противном случае результаты измеренияй бракуют.ся и подлежат переделке.

Сущность невязки покажем на примере треугольника. Пусть в треугольнике измерены все три угла α, β и γ. Истинные значения углов обозначим через α₀, β₀ и γ₀. Следовательно, измеренные углы содержат истинные погрешности Δα, Δβ и Δγ, т.е. α = α₀ + Δα, β = β₀ + Δβ, γ = γ₀ + Δγ. Напишем Если в известное математическое соотношение между угловами треугольника α₀ + β₀ + γ₀ = 180°. пПодставитьм сюда вместо истинных значений углов их измеренные значения, то получим

α₀ + Δα + β₀ + Δβ + γ₀ + Δγ = 180° + f_β (3.37)

или Δα Δα + Δβ + Δγ = f_β._. (3.38)

ЗначениеВеличина f_β носит название невязки. Таким образом, невязка – это отклонение суммы измеренных величин от теоретической. В общем случае она равна

. (3.39)

Теоретическая сумма внутренних углов в замкнутом полигоне равна 180^о(n-2), превышений и приращений координат равна нулю. В разомкнутых ходах, опирающихся на твердые пункты, теоретическая сумма вычисляется как:

; (3.40)

(3.41)

; (3.42)

, (3.43)

где индексы К и Н означают «конечный» и «начальный».

С учетом изложенного, невязки вычисляются: в замкнутом ходе:

а) угловуюая в замкнутом теодолитном полигонетеодолитном ходе

; (3.44)

б) приращений координат в замкнутом полигонетеодолитном ходе

, ; (3.45)

в) превышений в замкнутом нивелирном ходе

; (3.46)

В разомкнутом ходе:

га) угловуюая в разомкнутом теодолитном ходе

; (3.47)

дб) приращений координат в разомкнутомтеодолитном полигонеходе

, ; (3.48)

ве) превышений в разомкнутом нивелирном ходе

. (3.49)

Невязка являетсяесть суммаой накопленных случайных погрешностей измерений. Она зависит от условий измерений и характеризует качество выполненных измерений. С этой целью в нормативных документах на производство работ устанавливают требования к точности измерений и на их основе допустимую невязку. Ееё обозначают f_доп. и с ней сравниваютравнивают с допустимой невязкой.полученные невязки. Если они меньше допустимых, то измерения выполнены качественно, в противном случае измерения бракуют.

3.Покажем, как найти допустимую невязку для угловых измерений в теодолитном ходе. Так, в замкнутом полигоне функция измеренных углов имеет вид

(50)

Применяя формулу (17) оценки точности функции измеренных величин, при условии, что все углы измерены с одинаковыми средними квадратическими погрешностями m_β, получим

или .

Предельная средняя квадратическая погрешность, которая и носит название допустимой невязки, равна

где – коэффициент, зависящий от принимаемой доверительной вероятности.

На практике, как правило, принимают t = 3. Следовательно, допустимая угловая невязка в замкнутом теодолитном ходе равна

∂оп.f_β = 3m_β√п (51)

23. В чем смысл уравнительных вычислений?

В силу наличия избыточных измерений и образующихся при этом невязок, при вычислении функции от измеренных величин возникает неоднозначность. Для ликвидации неоднозначности выполняют уравнивание, которое заключается в отыскании вероятнейших поправок к измеренным величинам. Обязательным условием при этом является равенство сумм исправленных величин теоретическим. Следовательно, невязки после введения поправок должны быть равны нулю. С математической точки зрения процесс отыскания поправок V к измеренным величинам сводится к отысканию min функции [PV²].

Рассмотрим процесс уравнивания простейших функций на отдельных примерах без их математического обоснования.

Пример 113. В треугольнике измерены три угла одним и тем же теодолитом 2Т30П: ; ; . Измерения равноточные. Выполнить уравнивание.

Порядок решения данной задачи следующий:

1. Вычисляем сумму измеренных углов и находим невязку

f_β = ,

2. Вычисляем допустимую невязку f_{β доп} и Ссравниваем с ней полученную невязку с допустимой

; f_β< f_{β доп}.

3. Так как углы измерены равноточно, то полученную невязку распределяем поровну в виде поправок к измеренным углам. При этом поправки всегда имеют знак, противоположный невязке. То есть

.

4. Вычисляем исправленные углы

,

,

.

5. Вычисляем сумму исправленных углов

.

Уравнивание выполнено.

Предлагается экспериментально проверить, что полученные поправки удовлетворяют условию ..

Пример 124. В треугольнике измерены три угла теодолитами различной точности. Угол измерен теодолитом Т30 и равен 63º18'30", угол; теодолитом Т5 и равен 56º12'36" и угол измерен теодолитом Т1 и равен 60º28'20". Выполнить уравнивание.

Порядок решения.

1. Вычисляем сумму измеренных углов и находим невязку

.

Так как измерения не равноточные, то и на формирование невязки они окажут неодинаковое влияние. Примем точность измерений в соответствии с марками теодолитов, т.е. , и .

2. Вычисляем веса результатов измерений в соответствии с (3.20), приняв Сμ = 100.

3. Находим поправки к измеренным величинам как

; ; ,

где q_i = 1 / p_i.

Численные значения поправок будут равны

;

То есть поправки вполне удовлетворяют логику, что основная часть невязки содержит погрешность от измерения угла теодолитом Т30.

Предлагается экспериментально проверить, что полученные поправки удовлетворяют условию [p_i v²_i ] = min.

Пример 135. Для передачи отметки на строительный репер строительной площадки проложено три нивелирных хода от реперов с имеющимися отметками (рис.3.5). Вычислить вероятнейшее значение отметки строительного репера.

Рп 1 Н_рп1 =130.412

L₁=1.25 1км 11

∑h₁=-9.209 м

L₃=1.50 км

стр. рп. Н=?

Рп. 3. ∑h₃=1.085 м

Н=120.157

L₂=0.25 км

∑h₂=9.920 м

2 Рп. 2.

Рис.3.5. Схема передачи высоты на строительный репер

Н=111.310

Здесь причина не равноточности измерения состоит в том, что длины ходовразных длинах ходов, по которым передавалась отметка на строительный репер, различны. При вычислении отметки строительного репера получили три значения, отличающиеся друг от друга. Это является результатомВ результате накопления погрешностей измерений получили три значения отметки строительного репера (табл..3.45). Необходимо вычислить вероятнейшее значение высоты строительного репера, т.е. выполнить уравнивание.

Вычисление вероятнейшего значения и будет уравниванием.

Результаты измерений и вычислений приведены в таблице 5

Таблица3.4. 5 Уравнивание высоты строительного репера