Геометрический смысл двойного интеграла

Если , то равен объёму тела, ограниченного сверху поверхностью , с боков – цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Oxy область G; снизу– плоскостью Oxy (рис. 34).

Рис. 34.

Область G называется правильной в направлении оси Oy, если она имеет вид, указанный на рис. 35, и правильной в направлении оси Ox, если она имеет вид, указанный на рис. 36.

Рис. 35. Рис. 36.

Для области, правильной в направлении оси Oy, двойной интеграл сводится к повторному с помощью формулы

а для области, правильной в направлении оси Ox, с помощью формулы

.

Пример 5.6. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями , , (рис.37).

Рис. 37.

Решение. Форма области G позволяет применить формулу перехода к повторному интегралу при , , , :

.