Розв’язання. Для визначення множини, що містить точки, в яких досягаються умовні екстремуми заданої нелінійної цільової функції

Для визначення множини, що містить точки, в яких досягаються умовні екстремуми заданої нелінійної цільової функції, необхідно виконати побудову в двовимірній системі координат області х²+у² £ 13 (коло з центром у початку координат радіусом ) та прямої х+4у=8.

Множину, що відшукується, складають точки прямої, що знаходяться в колі. Графіком цільової функції є параболоїд обертання, вісь обертання якого проходить через точку (0;4). Лінії рівня даної функції є еліпсом з центром у тій самій точці (рис. 3).

Рисунок 3 – Ілюстрація розв’язку задачі нелінійного програмування

Для визначення стаціонарних точок умовного екстремуму, що відшукується за методом Лагранжа, складається функція Лагранжа

L(X,L)= 5х²+(у-4)^{2 +}l(х+4у-8).

Необхідні умови екстремуму функції L(X,L) дають наступну систему рівнянь:

;

;

.

Перенісши l в праві частини перших двох рівнянь та прирівнюючи ліві частини, можна отримати 10х=0,5(у-4). Розв’язання даного рівняння разом з третім х+4у-8=0 дасть відповідь х=-0,099 та у=2,02, тобто т.А.(-0,099;2,02). Змінну l можна не визначати, бо вона відіграє допоміжну роль. Значення цільової функції z_min (-0,099;2,02)=3,95.

Визначити граничні точки допустимої множини рішень можна з наступної системи рівнянь:

х²+у²=13;

х+4у=8.

Знайдені точки В(х₁;у₁)=(-2,48;2,62) та С(х₂;у₂)=(3,4;1,15) дають можливість оцінити значення цільової функції та визначити максимальне значення функції z серед точок допустимої множини розв’язків: z(х₁;у₁)=32,66 та z(х₂;у₂)=65,92.

Таким чином, екстремальні значення, що визначаються в завданні, знаходяться в точках х_min=(-0,099;2,02), z_min=3,95 та х_mах = (3,4;1,15), z_mах =65,92.