А) Математический субъективизм

В этом отношении, таким образом, можно говорить о гносеологическом в-себе-бытии математических предметов, а именно — как о чем-то подразумеваемом и уже предполагаемом в математическом мышлении.

Но это подразумевание и это предполагание, естественно, могут быть и ошибочными. То есть в действительности все-таки может быть так, что лишь мышление «полагает» математические предметы, но в качестве полагаемых их не осознает, как бы позволяя себя обмануть внутренней оформленности полагаемых образований, и особенно их вневременности, и потому предаваясь иллюзии их в-себе-бытия. Таким образом, стало быть, в математическом познании возникает та же апория, которая в реальном познании хорошо известна со времен античного скепсиса, но которой там противостоит тяжесть эмоционально-трансцендентных актов и жизненного контекста.

Позиция, которую занимают, открывая простор указанной возможности, есть, таким образом, позиция математического скепсиса. Она означает вовсе не то, что сомнению подвергаются математические

ПРОБЛЕМА И ПОЛОЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО БЫТИЯ 505

высказывания как таковые, но лишь то, что оспаривается в них подразумеваемое и мнимо покрываемое ими бытие математических предметов. В наше время эту позицию развивают две теории: математический субъективизм и математический интуитивизм.

Математический субъективизм утверждает: первых математических данностей, которые были бы твердыми и непреложными, не существует. Математика с ее полаганиями в этом случае свободно парит в царстве мысли. Она начинает с определений и аксиом, которые она целесообразно устанавливает ввиду дальнейших операций, позволяет затем тому, что определено, иметь относительное значение, а в остальном состоит чисто в выведении следствий.

Математик, пребывая в своей четко очерченной рабочей сфере, может обходиться таким воззрением; его позиция в этом случае является позицией отделенного от мирового контекста, чисто в себе существующего контекста мысли; его наука становится разновидностью шахматной игры высшего порядка по очень определенным логическим законам, из которых он исходит, признавая их основополагающее значение. Его критерием является исключительно внутренняя согласованность, положение о противоречии. Вне этой заранее предполагаемой закономерности все основывается на чистом полагании.

Известную убедительную силу это получает в новейших аксиоматических исследованиях. От аксиом и определений в соответствии с логическим следованием зависит все частное; но они сами, если исключить первоначальную данность созерцания — не эмпирического, но априорного, например, в смысле кантовского созерцания пространства, не являются

506 ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

бесспорными. Их нельзя доказать тем же образом, каким доказывают вытекающие из них частные теоремы. Следовательно, в принципе существует возможность их упразднения, перемещения, смены. Известный пример 11-й Евклидовой аксиомы, в которой вступают в действие приведенные соображения, есть лишь один из многих. Но следствием в этом случае оказывается некая геометрия или арифметика, иная в своих существенных элементах. Если брать чисто логически, то классическая геометрия Евклида не имеет преимуществ перед какой-нибудь геометрией, устроенной иным образом.

Обобщая, можно сказать, что приведенное соображение выводит к чистому математическому субъективизму. Дело в том, что если все зависит от первых полаганий, а те могут быть произвольно изменены, то прекращается всякая связь математики со сферой сущих предметов. С этой точки зрения как она сама образует некую случайную систему, так и все вытекающее из нее частное математическое бытие предстает случайным.