Тема 3. Элементы линейной алгебры

[5] гл. XXI; [3] № 592, 624, 628.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матрич­ной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Р е ш е н и е. Обозначим через А — матрицу, коэффициен­тов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных ; Н — матрицу-столбец свободных членов:

А= , Х= , Н=

С учетом этих обозначений данная система уравнений при­нимает следующую матричную форму:

А*Х=Н. (1)

Если матрица А — н е в ы р о ж д е н н а я (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А . Умножив обе части уравнения (1) на А , получим:

А *А*Х= А *Н.

Но А *А=Е (Е — единичная матрица), а ЕХ=Х,. поэто­му

Х=А *Н (2)

Равенство (2) называется матричной записью реше­ния системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матри­цу А

Пусть имеем невырожденную матрицу

А= . Тогда А = ,

где А (i=1,2,3; j=1, 2, 3) —алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) второго по­рядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения А элементов матрицы А.

=10 - следовательно матрица А име­ет обратную матрицу А .

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Тогда

А = = .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х= А *Н= .

Отсюда х =3, х =0, х =-2.

Вопросы для самопроверки