Неоклассическая модель роста

Пусть - национальный доход, где - объем капиталовложений (фондов), - величина затрат труда, - линейно-однородная производственная функция . Пусть - производительность труда:

где - фондовооруженность.

Мы будем предполагать, что:

1) Происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.e.

2) Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т. e.

(10.9)

( - норма амортизации).

Пусть - норма инвестиций (т. e. ), тогда

.

(10.10)

Из определения фондовооруженности вытекает,

.

Дифференцируя эти соотношения по , получим

.

Подставляя сюда значения для и из(10.9)и(10.10), находим

, т.е. .

Учитывая, что , получаем

.

(10.11)

Уравнение (10.11) называется уравнением неоклассического роста и представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Заметим, что если есть корень уравнения , то решением уравнения при начальном условии является кривая , которая называется стационарной кривой. Интегральная кривая уравнения (10.11) очень напоминает логистическую кривую.

4. Пусть - величина фондовооруженности, при которой достигается полная занятость. Найдем норму инвестиций, при которой будет сохраняться полная занятость.

Решение. Из условия задачи следует, что , т.е. .Тогда из (10.11) получаем, что , т.е.

.

Упражнения.

1. Для производственной функции найти:

а) интегральные кривые k (t) уравнения (10.11);

б) стационарную кривую;

в) .

2. Пусть - линейная производственная функция. Найти:

а) интегральные кривые k (t) уравнения (10.11);

б) стационарную кривую и условия ее существования;

в) .

3. Найти интегральные кривые уравнения (10.8) (логистические кривые).

Выделить среди них стационарные и найти

4. Пусть - государственные расходы, - потребление, - норма акселерации. Найти величину государственного дохода , если из- вестно, что .

5. Найти и построить интегральные кривые уравнения (10.6) в случае, когда цена

на продукцию обратно пропорциональна количеству выпущенной продукции.

6. Найти кривые, имеющие постоянную эластичность, равную .

7. Найти интегральные кривые и построить их схематический график для уравнения Самуэльсона

в случае, когда спрос и предложение - линейные функции от цены, т. е.

.

Литература.

1. Макаров В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической динамики и равновесия - М., Наука, 1973.

2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

3. Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.

4. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. - М.: Изд. ин. Лит.,1963.

5. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. - М.:

Наука, 1979.

5. Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972