Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТ МАКРОЭКОНОМИКИ

Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц

1. Определение 1.1. Число называется собственным значением (числом) матрицы размеров , если существует ненулевой -мерный вектор-столбец, такой что

(1.1)

при этом вектор называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Для того, чтобы число было собственным значением матрицы , необходимо и достаточно, чтобы оно было решением характеристического уравнения:

(1.2)

где - единичная матрица размеров .

Матрица может иметь не более действительных собственных значений.

Замечание 1.1. Собственные числа матрицы и транспонированной матрицы совпадают.

Замечание 1.2. Если - собственный вектор матрицы , то любой коллинеарный ему вектор (т. е. вектор вида ) также является собственным вектором матрицы , причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значению.

2. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц являются важными характеристиками функционирования экономических систем. Особое место среди неотрицательных матриц занимают неразложимые матрицы.

Определение 1.2. Матрица А называется неотрицательной (положительной) и обозначается , если все ее элементы неотрицательны (положительны). Неотрицательная квадратная матрица размеров называется разложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду:

(1.3)

где - нуль-матрица, а и - квадратные матрицы размеров и соответственно, в противном случае матрица называется неразложимой.

Замечание 1.3. Любая положительная матрица неразложима.

Замечание 1.4. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит о том, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономная подсистема. Так, если элемент матрицы показывает какое количество продукции -ой отрасли используется в -ой отрасли, то разложимость матрицы говорит о том, что существует группа отраслей, не использующих продукцию остальных отраслей. Неразложимость матрицы показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом использует продукцию всех отраслей.

Замечание 1.5. Квадратная матрица размера разложима тогда и только тогда, когда либо , либо .

Действительно, если , то матрица уже приведена к виду (1.3). Если же , то меняя местами первую и вторую строку, а затем первый и второй столбец (т. е. перенумеровав индексы) мы приведем матрицу к виду (1.3).

Замечание 1.6. Матрица разложима тогда и только тогда, когда существует матрица , которая путем перестановок строк может быть приведена к единичной, то есть матрица есть матрица вида (1.3).

Доказательство этого утверждения мы предлагаем читателю провести самостоятельно.

Замечание 1.7. Из разложимости матрицы в общем случае не следует разложимость матрицы . Так, например,

- неразложима, а - разложима.

Теорема 1.1. (Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрица имеет такое собственное значение , что для любого собственного значения матрицы . Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий собственному числу . Причем, если неразложима, то и .

Доказательство данного утверждения весьма громоздко и требует привлечения аппарата математического анализа. Поэтому мы приведем его лишь для матрицы размеров .

Действительно, пусть

Характеристическое уравнение для имеет вид:

(1.4)

Вычислив дискриминант полученного квадратного уравнения, получим, что

.

(1.5)

Следовательно, матрица имеет хотя бы одно действительное значение, причем, очевидно, что

(1.6)

Найдем собственные векторы, соответствующие . Уравнение (1.1) или эквивалентное ему уравнение в координатной форме с учетом выражения для имеют вид

.

(1.7)

Так как определитель системы в силу (1.2) равен нулю, то уравнения системы (1.7) линейно зависимы, т. е. одно из них можно получить путем умножения другого на некоторое число. Для определенности будем считать, что второе уравнение есть следствие первого. Очевидно, что

(т. к. , см. (1.5)). Причем , если и (То есть когда матрица неразложима). Итак, возможны четыре случая:

а) если , (а это имеет место, в частности, для неразложимых матриц), то , при ;

б) если , , то , при ;

в) если , , то , при ;

г) если , , то , при , .

А это показывает, что во всех случаях существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий . Причем, для неразложимой матрицы (случай а) . Теорема доказана.

Определение 1.3. Собственное значение неотрицательной матрицы называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор - Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы .

Пример 1.1. Пусть Данная матрица неразложима. У нее существует два собственных значения: число Фробениуса , ему соответствует собственный вектор (он является вектором Фробениуса при ) и собственное значение , ему соответствует собственный вектор . Очевидно, что .

Пример 1.2. Пусть Данная матрица разложима. У нее существует два собственных значения: - фробениусово число, ему соответствует собственный вектор ( при ) и собственное значение , соответствующий собственный вектор .

Замечание 1.7. Так как собственные значения матриц и совпадают, то числа Фробениуса данных матриц равны.

Пусть - вектор Фробениуса матрицы , тогда

.

Транспонируя это равенство, мы получим:

.

(Напомним, что в данном равенстве рассматривается как вектор-стрoка). Поэтому весьма естественно говорить о векторах и как о соответственно левом и правом векторах Фробениуса матрицы .

Следствие 1.1. Если матрица неразложима, то кроме вектора (определенного с точностью до положительного множителя) у нее нет других неотрицательных собственных векторов.

В самом деле, пусть и . Тогда, умножив это равенство слева на , получим

(1.8)

Так как , то . Следовательно .

То есть все неотрицательные собственные векторы будут соответствовать . Более того, в силу Теоремы Фробениуса-Перрона . Предположим, что векторы и - линейно независимы. Т. к. эти векторы определены с точностью до положительного множителя, то мы можем считать, что первая координата у них равна . Тогда вектор будет собственным вектором матрицы , соответствующий , но первая координата будет равна нулю, что противоречит Теореме Фробениуса-Перрона для неразложимой матрицы, следовательно, и - линейно зависимы, т. е. .

Следствие 1.2. Если , то .

Следствие 1.3. Пусть , тогда является числом Фробениуса .

Следствие 1.4. Если - число Фробениуса матрицы , то есть число Фробениуса матрицы .

Доказательство этих утверждений мы предлагаем провести студентам самостоятельно.

3. Обозначим через - вектор, координата которого есть сумма элементов -ой строчки матрицы , а через - вектор, координата которого есть сумма элементов —того столбца матрицы . Очевидно, что

а) , б) ,

(1.9)

где .

Пусть Тогда имеет место

Теорема 1.2. Число Фробениуса неотрицательной матрицы удовлетворяет условиям:

а) , б) .

(1.10)

Причем, если матрица неразложима, то все неравенства строгие за исключением случая, когда или .

Доказательство. Пусть - вектор Фробениуса, сумма координат которого равна 1, т. е. (такой вектор мы можем всегда выбрать, так как, если сумма координат равна , то вектор Фробениуса будет иметь сумму координат, равную 1). Для мы имеем

.

Умножив это равенство слева на и учитывая (1. 9б), получим

.

Так как , то

.

Отсюда вытекает, что

(1.11)

Причем, если матрица неразложима, то все и в (1. 11) оба неравенства строгие (за исключением случая ). Учитывая, что сумма координат вектора равна 1, из (1. 11) получаем (1. 10б). Соотношения (1. 10а) получаются путем аналогичных рассуждений, но проделанных для матрицы .

Следствие 1.5. Если все суммы элементов строк (столбцов) неотрицательной матрицы равны одному и тому же числу (т. е. или ), то число Фробениуса равно .

Пример 1.3. Пусть

,

тогда (т. к. суммы элементов каждого столбца равны 6) и (т. к. суммы элементов любой строки равны 3).

§2. Модель Кейнса рынка товаров.

1. Пусть - величина совокупного национального дохода некоторой страны, и - соответственно объемы потребления и инвестиций. Равновесным национальным доходом называется национальный доход, равный расходам страны, т. е.

.

(2.1)

Путем анализа статистических данных американской экономики английский экономист Джон Кейнс в 30-е годы пришел к выводу, что величина потребления есть линейная неоднородная функция от Y, т. е.

,

(2.2)

где - коэффициент склонности к потреблению , а - базисное потребление, ниже которого уровень потребления не может опуститься. Перепишем уравнения (2.1), (2.2) в следующем виде:

(2.3)

Соотношения (2.3) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и ( считаются заданными). Определитель системы . Величина называется коэффициентом склонности к сбережениям. Таким образом, если , то у системы (2.3) существует единственное, причем положительное, решение