Граф состояний системы. Уравнение Колмогорова

Среди марковских цепей подсоединены такие цепи, у которых количество состояний конечно, а переход из одного состояния в другое возможен в произвольные непрерывные моменты времени под воздействием некоторых потоков событий (система массового обслуживания). Для изучения описания таких марковских цепей наибольшую часть применяют графы состояний. Узлы графа описывают состояния, возможные для системы, а дуги, соединяющие их – различные переходы от одного состояния в другое, и над каждой дугой указана интенсивность соответствующего потока событий.

Пример.

Пусть имеется некоторое техническое устройство, состоящее из двух узлов. Пусть в некоторой комнате имеется две лампочки, тогда система может находиться в четырех состояниях.

– оба узла исправны;

– состояние, при котором один узел в ремонте, второй узел работает;

– состояние, при котором один узел исправен, второй узел в ремонте;

– оба узла в ремонте.

Обозначим через – поток отказов первого узла; – поток отказов второго узла.

Можно доказать, что , где – время непрерывной работы узла.

Обозначим через – поток восстановления первого узла; – поток восстановления второго узла.

Можно доказать, что , где – время ремонта узла.

Тогда работа данного устройства может быть описана следующим состоянием

Обозначим через вероятность, что система в момент времени находится в состоянии .

Для нашего примера система уравнений Колмогорова примет следующий вид

(7)

Правило составления системы уравнений Колмогорова следующее:

по графу состояний: количество дифференцируемых уравнений равно количеству состояний, слева в уравнении стоит производная вероятности -го состояния, а справа сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых ведут стрелки в данное, умноженные на соответствующие эффективности потоков событий – суммарная эффективность всех суммарных потоков умножение на вероятность этого состояния.