Распределение Пуассона. Закон Пуассона называют законом редких событий, поскольку он проявляется там, где производится большое число испытаний

Закон Пуассона называют законом редких событий, поскольку он проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. Например, число телефонных вызовов, поступивших на коммутатор за некоторый промежуток времени, число несчастных случаев, произошедших в городе за некоторый промежуток времени и т.д.

Распределение Пуассона можно описать с помощью следующей математической модели. Пусть событие А происходит многократно с течением времени, то есть имеет место поток однородных событий, который удовлетворяет следующим условиям:

1) Поток стационарен, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+τ) зависит только от числа событий k и длины промежутка τ, но не зависит от начала t. Это означает, что математическое ожидание числа событий в единицу времени (плотность потока) постоянно.

2) Поток без последствия, то есть вероятность попадания k событий в промежуток времени (t; t+τ) не зависит от числа и появления событий до момента времени t, то есть имеет место взаимная независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

3) Поток ординарен, то есть вероятность попадания двух и более событий в промежуток времени (t; t+τ) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события в этот промежуток, то есть вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.

Поток событий, удовлетворяющий условиям 1)–3) называется простейшим. Плотность простейшего потока обозначим μ.

Вероятность того, что событие А в промежутке времени τ осуществится х раз, равна

,

где λ=μτ – среднее число событий, происходящих в промежутке времени τ.

Числовые характеристики: МХ= DX=λ, σ(X)=

Теорема о связи биномиального распределения с законом Пуассона.

Пусть таким образом, что произведение np остается постоянным и равным некоторому числу λ>0. Тогда вероятность того, что случайная величина, распределенная по биномиальному закону, примет значение, равное m, стремится к вероятности этого же события, вычисленной по закону Пуассона с параметром λ=np, то есть

.

Замечание. Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а np<10.