Вправи для повторення 1 страница

1022. Спростіть вираз:

а) (m + 2 n)(2 m - n)+ 2 n ²; б) a ²(b + 5 a) + (a - 2 b)(2 b - 5 a ²).

1023. Розкладіть на множники:

а) a + 3 ab - с - 3 bс; б) x ² - y ² + 2( x + y);

в) а ² - 4 b ² + а - 2 b; г) c ² - 3 ac + 2 a ².

1024. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 725³ - 375³ на 350; б) 72³ + 88³ на 80.

1025. Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел при діленні на 3 дає в остачі 2.

1026*. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність: х ² - 4 х + у ² - 4 у + 9 = 0.

1027. Побудуйте графік функції та знайдіть координати точок його перетину з осями координат.

Цікаво знати

У книзі «Геометрія», виданій 1637 року, відомий французький математик Рене Декарт (1596-1650) запропонував новий метод математичних
досліджень — метод координат. Суть цього методу полягає в тому, що кожній геометричній фігурі на координатній площині ставиться у відповідність рівняння чи нерівність, які задовольняють координати кожної точки фігури і тільки вони. Так, кожній прямій ставиться у відповідність рівняння цієї прямої виду aх + by = c. Якщо, наприклад, потрібно довести, що деякі дві прямі є паралельними, то досить записати рівняння обох прямих і довести, що система цих рівнянь не має розв’язку. Як бачимо, геометрична задача завдяки методу координат зводиться до алгебраїчної задачі. Таке нововведення Декарта дало початок новій геометрії, яку зараз називають аналітичною геометрією.

Рене Декарт народився в департаменті Турень (Франція) в сім’ї дворян. Після здобуття освіти служив офіцером в армії Моріса Оранського, брав участь у Тридцятирічній війні. Завершивши військову службу, Декарт поїхав у Голландію, де написав більшу частину своїх наукових робіт і завоював славу великого вченого. Декарт зробив ряд відкриттів, які стали поворотними пунктами в усій математиці. Він увів поняття змінної величини і функції, прямокутної системи координат, яку ми на його честь називаємо ще прямокутною декартовою системою координат.

Рене Декарт (1596-1650), французький філософ і математик. Розробив метод координат, створив основи аналітичної геометрії

З рівняннями з кількома змінними пов’язана одна з найвідоміших математичних теорем, про яку тривалий час точаться розмови й у середовищі, далекому від математики. Йдеться про Велику теорему Ферма. Ця теорема стверджує, що рівняння із трьома змінними виду хⁿ + yⁿ = zⁿ не має розв’язків у цілих числах, якщо показник степеня n > 2.

Як виявилося, у цьому простому, на перший погляд, математичному твердженні криється надзвичайна складність. Причина ж величезного ажіотажу, що розгорівся довкола теореми П’єра Ферма, така.

1636 року в книзі Діофанта Олександрійського (III ст.) «Арифметика», яку Ферма частенько студіював, роблячи помітки на її широких полях, і яку зберіг для потомків його син, був зроблений запис, що він, Ферма, має доведення теореми, але воно доволі велике, щоб його можна було розмістити на полях. Відтоді розпочався пошук доведення, адже в інших матеріалах Ферма його так і не виявили. Хто тільки не намагався довести теорему. Кожний свіжо спечений математик вважав своїм обов’язком докластися до Великої теореми, але зусилля виявлялися марними. За доведення бралися й найвідоміші математики XVII–XX століть. Ейлер довів теорему для степенів n = 3 і n = 4, Лежандр — для n = 5, Діріхле — для n = 7. У загальному ж вигляді теорема залишалась недоведеною.

П’єр Ферма (1601–1665), французький математик, зробив значний внесок у розвиток теорії чисел. Разом з Рене Декартом є основоположником аналітичної геометрії

На початку XX ст. (1907) заможний німецький любитель математики Вольфскель заповідав сто тисяч марок тому, хто запропонує повне доведення теореми Ферма. Через деякий час з’явилися доведення для показника степеня n < 100, потім для n < 619. Багатьом математикам здавалося, що вони знайшли доведення, але згодом в цих «доведеннях» знаходили помилки.

Були й спроби заперечити Велику теорему шляхом пошуку хоча б одного розв’язку рівняння хⁿ + yⁿ = zⁿ для n > 2. Проте навіть перебір цілих чисел з використанням комп’ютерів не давав результату — для яких би значень n теорему не перевіряли, вона завжди виявлялась правильною.

Лише у 1995 році англійському професорові математики з Прінстонского університету (США) Ендрю Вайлзу вдалося довести Велику теорему.
Доведення було надруковане в одному з провідних математичних журналів і зайняло увесь номер — понад сто аркушів.

Таким чином, лише у конці ХХ ст. увесь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала-таки доведеною теоремою.

До свого тріумфу Вайлз ішов понад тридцять років. Про теорему Ферма випадково дізнався у десятирічному віці й відтоді заповітна мрія довести її не залишала Ендрю на жодну мить. На щастя, у нього вистачило здорового глузду, аби не піти шляхом тисяч упертих ентузіастів, які настирливо намагалися розв’язати проблему елементарними засобами. Лише через двадцять років, уже маючи докторський ступінь і обійнявши посаду професора математики в Прінстоні, Вайлз вирішив відкласти всі справи й узятися за втілення своєї мрії. Йому вдалося довести Велику теорему Ферма і тим самим розв’язати чи не найпопулярнішу математичну головоломку останніх століть.

Запитання і вправи для повторення § 7

1. Яке рівняння називають лінійним рівнянням із двома змінними? Наведіть приклад такого рівняння.

2. Що називають розв’язком рівняння із двома змінними? Чи є пара чисел (4; 1) розв’язком рівняння х - 2 у = 2?

3. Що є графіком рівняння aх + by = c, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля?

4. Що називають розв’язком системи рівнянь із двома змінними?

5. Що означає розв’язати систему рівнянь?

6. Скільки розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь із двома змінними?

7. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними графічним способом?

8. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки?

9. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання?

1028. Які з пар чисел (3; 3), (-1; -2), (7; 6), (1; 0,5) є розв’язками рівняння
5 x - 4 y = 3?

1029. Знайдіть два які-небудь розв’язки рівняння:

а) -2 x + 4 y = 8; б) x + 3 y = -2.

1030. Складіть лінійне рівняння, розв’язком якого є пара чисел:

а) х = 4, y = 3; б) (-2, 4).

1031. З рівняння 4 x - y = 6 виразіть:

а) змінну х через змінну y; б) змінну y через змінну x.

1032. Побудуйте графік рівняння:

а) x - 2 y = 4; б) 4 x + y = -4; в) 3 x - 2 y = 6.

1033. Чи є пара чисел (-2; 3) розв’язком системи рівнянь

1034. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б)

1035. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

а) б) в)

1036. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

а) б) в)

1037. Не виконуючи побудов, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь 2 х - 3 у = 1 і х + 3 у = 5.

1038. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

д) е)

1039*. Розв’яжіть систему рівнянь:

1040. Відомо, що 5 тонких i 3 товстих зошити коштують 5 грн. 60 к., а 4 тонких i 2 товстих зошити ¾ 4 грн. Скільки коштує один тонкий зошит і скільки — товстий?

1041. В Андрія є 20 монет по 10 к. і 25 к., усього на суму 3 грн. 80 к. Скільки монет по 10 к. і скільки по 25 к. має Андрій?

1042. У пекарні було 18 мішків борошна першого ґатунку і 12 мішків борошна другого ґатунку, загальна маса яких дорівнює 1248 кг. Коли використали 4 мішки борошна першого ґатунку і 6 мішків борошна другого ґатунку, то залишилося 824 кг борошна. Яка маса мішка борошна кожного ґатунку?

1043. Сума двох чисел дорівнює 4,5. Знайдіть ці числа, якщо половина одного з них дорівнює 75% іншого.

1044. З міст А і В, відстань між якими дорівнює 110 км, о 9 год 15 хв виїхали назустріч один одному два автобуси й рухалися з однаковою швидкістю. О 9 год 30 хв з міста А до міста В виїхав легковий автомобіль, який о 10 год зустрів автобус, що їхав до міста А, а о 10 год 30 хв наздогнав автобус, що їхав до міста В. Знайдіть швидкості автобусів і автомобіля.

1045*. З міста А до міста В о 10 год виїхав автобус, а з міста В до міста А о 10 год 25 хв ¾ автомобіль. До моменту зустрічі об 11 год 20 хв автомобіль проїхав на 8 км менше, ніж автобус. Знайдіть швидкості автобуса й автомобіля, якщо до міста А автомобіль приїхав о 12 год 20 хв.

Вказівка. Розв’язуючи задачу, використайте схему:

1046*. Володя за 3 товстих i 5 тонких зошитів заплатив 5 грн. 60 к., а Сергій за 2 товстих i 4 тонких зошити ¾ 4 грн. Олег купив тільки товсті зошити. Для розрахунку 5 грн. було замало, і він дав продавцеві 7 грн. Скільки грошей одержав Олег на здачу?

Вказівка. Встановіть, що ціна товстого зошита 1 грн. 20 к. Олег купив більше, ніж чотири таких зошити, бо заплатив більше, ніж 5 грн., однак менше, ніж шість зошитів, бо для розрахунку вистачило 7 грн. Отже, він купив 5 товстих зошитів.

Завдання для самоперевірки № 7

1 рівень

1. Вкажіть розв’язки рівняння х - у = 2:

а) (3; 2); б) (3; 1); в) (5; 2); г) (-3; -2).

2. Яка з пар чисел є розв’язком системи рівнянь

а) (3; 3); б) (2; 2); в) (2; 1); г) (-1; 5).

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки та вкажіть правильну відповідь:

а) (1; 1); б) (0; 2); в) (2; 0); г) (4; -2).

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання та вкажіть правильну відповідь:

а) (-2; 8); б) (-4; 10); в) (4; 2); г) (2; 4).

5. Сума двох чисел дорівнює 21, до того ж, одне з них на 5 більше від
іншого. Знайдіть ці числа.

Нехай більше число дорівнює х, а менше ¾ у. Яка система рівнянь відповідає умові задачі?

а) б) в) г)

2 рівень

1. Доберіть замість зірочок такі числа, щоб пари (3; *) і (*; 2) були розв’язками рівняння5 х - 2 у = 9.

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

5. У магазині борошно продають у малій та великій упаковках. Загальна маса малої та великої упаковок борошна дорівнює 7 кг, а 2 малі й 3 великі упаковки мають загальну масу 19 кг. Яка маса малої упаковки борошна і яка великої?

3 рівень

1. Знайдіть таке число а, щоб графік рівняння2 х - ау = 2 проходив через точку (-1; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

4. Розв’яжіть систему рівнянь

5. За цукерки і печиво мама заплатила 15 грн. Відомо, що 25% вартості цукерок менші, ніж третина вартості печива, на 1 грн. 50 к. Скільки гривень мама заплатила за цукерки і скільки за печиво?

4 рівень

1. Знайдіть такі числа а і b, щоб графік рівняння2 ах - (b + 2) у = 2 проходив через точки (-1; 4) і (2; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь

4. Для якого значення коефіцієнта а система рівнянь має безліч розв’язків?

5. Є сталь двох сортів із вмістом нікелю 5% і 40%. Скільки сталі кожного сорту потрібно взяти, щоб після переплавки одержати 70 т сталі, яка містила б 30% нікелю?

ЗАДАЧІ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ

1047. Купили 2 кг огірків по а грн. за кілограм і 5 кг помідорів по b грн. за кілограм. Запишіть у вигляді виразу вартість покупки.

1048. Автомобіль протягом t год рухався зі швидкістю 80 км/год і протягом 2 год — зі швидкістю 70 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який проїхав автомобіль за весь час руху. Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 1,2.

1049. Через першу трубу до басейну щохвилини поступає а л води, а через другу — b л. Скільки літрів води поступить до басейну через обидві труби за 3 год?

1050. Знайдіть значення степеня:

а) 9⁴; б) (-3)⁵; в) (-2,5)³; г)

1051. Подайте у вигляді степеня з основою а:

a) а ² а ⁴; б) а ⁷: а; в) (а ³)⁵; г) (а ⁵ × а)⁴.

1052. Обчисліть:

а) 0,4⁵ × 2,5⁵; б) (2² × 0,5²)⁷ × 0,25⁴ × 4⁴; в)

1053. Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь:

a) 8 х ² ху; б) -3 а ² b × 2(а ⁵)²; в) - m ³ × 3 m ² n × 5 n ⁴;

г) 0,5 ас × (-4 а ³ с)² × а ² с; д) е)

1054. Подайте одночлен 12 a ⁴ b ⁵ у вигляді добутку двох одночленів стандартного вигляду, одним з яких є: 2 a ² b ²; -4 a ³ b; -0,5 b.

1055. Подайте одночлен 9 a ⁶ b ² у вигляді квадрата одночлена.

1056. Подайте одночлен 27 х ⁶ у ⁹ у вигляді куба одночлена.

1057. Знайдіть значення одночлена:

а) -4 а ³ b, якщо а = b = б) (2 х ³ у)² × у ⁴, якщо х = 0,25; у = 4.

1058*. Спростіть вираз, де n — натуральне число:

а) (х ³)^{3 n} × (х ⁵ х^{n + 1})²; б) (- аⁿ)¹⁷ × (- a ²)⁹.

1059. Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

а) 3 x ²- 6 х + х ² - 3 + x; б) 3 а × 2 ab + a ⁵ - a ³ - 7 a ² b ;

в) 0,6 a ² b - 1,4 b ² a + 2,8 а ² b + 3,3 аb ²; г) 5 x ³+ x ²- x ³- x ².

1060. Спростіть вираз:

а) 8 а ² + 4 а - 3 - (7 - 8 а + 3 а ²); б) х - 3 х ² у - ху + (х ² - 3 х ² у + ху);

в)

Виконайте множення:

1061. а) 4 а (а ² - 4 а + 3); б) (2 х ² - 4 х + 8)(-0,5 х ²);

в) (4 ab ²+ 9 а ²)(2 b ² - 3 a); г) (a - 7)(b + 1)(c - 2).

1062.а) (b + 2 c)(b - 2 c); б) (5 x - 2 y)(5 x + 2 y);

в) (1,4 a - 0,3 b)(0,3 b + 1,4 a); г)

1063. Піднесіть до квадрата:

а) (2 х + 3)²; б) (3 с - 1)²; в) (0,4 b - 5 а)²; г)

Спростіть вираз:

1064. а) (х - 3)(х ² + х + 3) - х ³; б) 3 с - (с - 2)(2 с ² - с + 1) - 5 с ²;

в) (5 + х)(5 - х) + х ²; г) (2 b - 9)(2 b + 9) - 4 b ²;

д) (n - 1)(n ² + n + 1)- n ³; е) (а + 3)(а ² - 3 а + 9)- 27.

1065. а) (10 - 3 m)(2 + 3 m) + (5 m - 4)(5 - 2 m);

б) (4 a + 9)(a ² - 2 a + 2) - (4 a - 7)(а + 1)²;

в) (n ² - 3 n)(1 + 3 n)(-1 + n) - 3 n (n ³ + 1);

г) (4 y - 5 y ²)² + (2 y + 5 y ²)² - 20 y ².

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

1066. а) (b + 2)(b - 2)(b ²+ 4); б) 15 х ³(х ²+ 10)(10 - х ²);

в) а ⁵(а ⁴ - (2 а ³ + а ²(а ² - 2 а + 3))) + 4 а ⁷.

1067*. а) (а ² + 2 а - 2)²; б) (5 x - 2)³; в) (с - 3)⁴.

1068. Доведіть тотожність:

а) у (b - x) + x (b + y)= b (x + y); б) (- m + n)(m - n) = -(n - m)²;

в) (a + b + c + d)² – (a + b)² - (c + d)² = 2(a + b)(c + d);

г) (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7) + 7 = (n ² + 8 n + 8)(n ² + 8 n + 14).

Розкладіть на множники:

1069. а) 2 x + 2 ху; б) а ²- 2 а; в) 12 xу ³+ 8 ху ² - 16 х ² у.

1070. а) ах - ay + 3 x - 3 y; б) x ² у – 2 х + xy - 2;

в) 9 уа - 6 yа ² + 2 axy - 3 xy; г) 8 x ² a – 15 y ³ - 10 x ² y + 12 ay ².

1071. а) 9 n ² - 4 m ²; б) 120 – 30 a ⁴; в) 27 х ³ + 0,008 у ³;

г) х ³ - (m - n)³; д) a ² + 8 а + 16; е) 6 х ²- 24 ху + 24 у ².

1072. a) б) а ²- 4 b ² + 2 b + a; в) х ²- 4 ху + 4 у ² - 4 у ⁴.

1073*. а) x ²- 2 x – 3; б) а ²+ 3 а – 4; в) х ²- 8 ху + 7 у ².

1074. Доведіть, що значення виразу:

а) 9⁷ - 3¹² ділиться на 8; б) 49⁸ + 3 × 7¹⁵ ділиться на 10.

1075. Обчисліть:

а) 97 × 103; б) 1,8 × 2,2; в) 52² – 48²; г) 7,35² – 6,35².

1076. Знайдіть значення виразу:

а) а ³ - 0,5 а ², якщо а = 1,5;

б) х ² – 2 xy + y ², якщо x = -0,3; y = 10,3.

1077. Доведіть, що значення виразу (х + 1)² - (х - 1)(х + 3) не залежать від значень х.

1078. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу:

а) (2 n + 3)² - (2 n - 1)² ділиться на 8;

б) (8 n - 4)² - 8(4 n - 3) не ділиться на 32.

1079. Для якого значення х значення виразу х ² + 2 х + 9 є найменшим?

1080. Для якого значення х значення виразу 2 - х ² + 4 х є найбільшим?

1081*. Доведіть, що сума кубів двох послідовних цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 9.

1082*. Чи може різниця четвертих степенів двох натуральних чисел бути
простим числом?

1083*. Знайдіть найменше значення виразу х ²+ у ² - 4 у - 2 x.