Вправи для повторення

709. Подайте у вигляді многочлена:

а) (3 a + 2 b)(4 a - b)+ 2 b ²; б) 2 x (y + 15 x) + (x - 6 y)(5 y + 2 x).

710. Розв’яжіть рівняння:

а) ; б)

711. Запишіть у вигляді виразу:

а) подвоєний добуток змінної а та суми змінних m і n;

б) різницю квадратів виразів а – 1 і bc.

712. Сплав срібла і міді, загальна маса якого дорівнює 2 кг, містить 80% міді. Знайдіть масу срібла у сплаві.

713. Сплав міді й цинку має масу 4,2 кг. Знайдіть масу міді, якщо її у сплаві на 10% більше, ніж цинку.

714. До сплаву міді й олова, загальна маса якого дорівнює 2 кг, додали 200 г міді й одержали новий сплав, у якому міді стало в 1,2 разу більше, ніж олова. Скільки відсотків міді містив перший сплав?

Для тих, хто хоче знати більше

22. Застосування перетворень виразів

Нам уже траплялося чимало завдань, для розв’язання яких треба було перетворювати той чи інший вираз. Здебільшого ми використовували перетворення виразів, коли розв’язували рівняння, доводили тотожності, знаходили значення виразів. Розглянемо ще деякі задачі, пов’язані з перетвореннями виразів.

1. Порівняння значень многочлена з нулем.

Приклад 1. Довести, що многочлен х ² - 8 х + 18 набуває лише додатних значень.

● Виділивши із тричлена х ² - 8 х + 18 квадрат двочлена, матимемо:

х ² - 8 х + 18 = х ² - 8 х + 16 – 16 + 18 = (х - 4)² + 2.

Ми подали многочлен у вигляді суми двох доданків (х - 4)² і 2. Доданок (х - 4)² для будь-яких х набуває лише невід’ємних значень, доданок 2 — додатний. Тому вираз (х - 4)² + 2 набуває лише додатних значень. Оскільки х ² - 8 х + 18 = (х - 4)² + 2, то й вираз х ² - 8 х + 18 набуває лише додатних значень. ●

2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.

Виходячи з рівності х ² - 8 х + 18 = (х - 4)² + 2, одержаній у прикладі 1, можна вказати найменше значення многочлена х ² - 8 х + 18. Воно дорівнює 2, до того ж, цього найменшого значення многочлен набуває, якщо х = 4.

Приклад 2. Знайти найбільше значення многочлена - х ² + 4 х + 1.

● Спочатку даний вираз запишемо так:

- х ² + 4 х + 1 = -(х ² - 4 х - 1).

Тоді:

Найбільше значення многочлена дорівнює 5. ●

3. Розв’язування задач на подільність.

Приклад 3. Довести, що для будь-якого цілого значення n значення виразу (2 n + 3)² - – (2 n - 3)(2 n + 5) ділиться на 8.

● Спростимо даний вираз:

(2 n + 3)² - (2 n - 3)(2 n + 5) = 4 n ² + 12 n + 9 - (4 n ² + 10 n - 6 n - 15) =

= 4 n ² + 12 n + 9 - 4 n ² - 4 n + 15 = 8 n + 24 = 8(n + 3).

Для будь-якого цілого значення n добуток 8(n + 3) ділиться на 8, а тому й значення виразу (2 n + 3)² - (2 n - 3)(2 n + 5) ділиться на 8. ●

4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.

Приклад 4. За допомогою мікрокалькулятора знайти значення многочлена
12 х ³ - 24 х ² + 15 х - 8, якщо х = 2,8.

● Значення даного многочлена шукати зручніше, якщо його попередньо перетворити так:

12 х ³ - 24 х ² + 15 х - 8 = (12 х ² - 24 х + 15) х - 8 = ((12 х - 24) х + 15) х - 8.

Якщо х = 2,8, то схема обчислень є такою:

´

2,8

-

´

2,8

+

´

2,8

-

=

Виконавши обчислення, знайдемо значення многочлена. Воно дорівнює 109,264. ●

Усно

715. Знайдіть найменше значення виразу:

а) x ² + 7; б) (а - 6)²; в) (b - 1)² + 3.

716. Знайдіть найбільше значення виразу:

a) 7 - х ²; б) 1 - (х - 2)²; в) 5 - (x + 5)².

За якого значення х вираз набуває найбільшого значення?

Рівень А

Доведіть, що вираз набуває лише невід’ємних значень:

717. а) x ² + 2 x + 1; б) 4 m ² + 4 mn + n ² + 3.

718. а) a ² - 4 а + 4; б) x ² - 2 xy + y ² + 4.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

719. а) 245² - 236² на 9; б) 438² - 62² на 500;

в) 52³ - 36³ на 16; г) 75³ + 25³ на 100.

720. а) 811² - 712² на 99; б) 48³ - 19³ на 29.

За допомогою мікрокалькулятора знайдіть значення многочлена:

721. а) 4 х ³ - 6 х ² + 5 х - 3, якщо х = 5; х = 3,2; х = -2,6;

б) 1,2 х ³ + 2,4 х ² + 0,5 х - 1, якщо х = 1,7;

в) 4,5 х ⁴ + 4 х ³ - 3,5 х ²+ 2 х - 1,8, якщо х = 4.

722. а) 15 х ³ - 8 х ² + 12 х - 30, якщо х = 2; х = 1,2; х = -4;

б) 2,4 х ⁴ - 7,2 х ³ - 3,3 х ²+ 4,5 х, якщо х = 3.

Рівень Б

Доведіть, що вираз набуває лише від’ємних значень:

723. а) -(а ² - 2 а + 4); б) - x ²+ 4 x - 5.

724. а) -(х ² - 2 х + 2); б) - y ² + 2 y - 4.

Знайдіть найменше значення виразу та значення змінної, для якого вираз набуває найменшого значення:

725. a) x ² - 4 x + 4; б) х ² - 4 х + 7.

726. а) a ² + 6 a + 9; б) x ² - 6 x + 10.

Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу ділиться на дане число:

727. а) (n - 2)² + 3 n ² на 4; б) (n - 2)(2 n - 7) - 2 n ² - 3 на 11.

728.(n + 2)² - n (n - 2) + 2 на 6.

Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу не ділиться на дане число:

729. а) (n - 5)² + (2 n - 3)(2 n + 8) на 5; б) (n - 3)(n ² - 3) - (n ³ - 1) на 3.

730.(n + 3)² - (n - 3)² + 3 на 12.

731. Доведіть, що значення виразу 5³³ - 5³⁰ ділиться на 124.

Рівень В

732. Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, для якого вираз набуває найбільшого значення:

a) - x ² + 2 x – 8; б) - а ² - 4 а + 3.

733. Чи може значення виразу a ²- 4 a + 7 дорівнювати 1?

Розв’яжіть рівняння:

734. а) x ²- 7 x + 12 = 0; б) х ² - х - 12 = 0.

735. а) (x - 1)² + (x - 3)² = 0; б) (x ²- 1)² + (x - 1)⁴ = 0.

736. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 3¹⁰ + 9⁶ на 10; б) 2²⁰+ 2²⁵ - 2²² на 29.

737. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:

а) х ²+ у ² - 2 x - 2 у + 3 = 0; б) 2 х ²+ 2 у ² - 2 xу - 2 x - 2 у + 3 = 0.

738. Запишіть число 4 у вигляді суми таких двох доданків, щоб їх добуток був найбільшим.

739. Різниця двох непарних натуральних чисел ділиться на 5. Чи ділиться різниця кубів цих чисел на 10?