Вправи для повторення. 566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода

566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода. За 2 год пішохід долає відстань, що на 2,5 км менша від відстані, яку долає велосипедист за 1 год. Знайдіть швидкість пішохода.

567. Вкладник вніс до банку 4000 грн. За перший рік йому нарахували 8% річних, а потім банківський відсоток збільшився. У кінці другого року на рахунку вкладника було 4752 грн. Скільки відсотків річних став давати банк після збільшення ставки?

568*. Сплав міді й цинку, загальна маса якого дорівнює 3,6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 60% міді?

569. Замініть степінь добутком і запишіть одержаний добуток у вигляді многочлена:

а) (a + 1)²; б) (2 b - 1)²; в) (5 - 2 x)².

570. Запишіть у вигляді виразу:

а) суму квадратів змінних х і у; б) квадрат суми змінних х і у;

в) різницю квадратів змінних а і с; г) квадрат різниці змінних а і с.

17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів

1. Квадрат суми двох виразів. Піднесемо до квадрата суму a + b:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a ² + аb + ab + b ²= a ² + 2 ab + b ².

Отже,

(a + b)² = a ² + 2 ab + b ².

Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Вона є
формулою скороченого множення, бо дозволяє підносити до квадрата суму довільних двох виразів не за правилом множення двох многочленів, а скорочено: відразу записувати квадрат у вигляді тричлена a ² + 2 ab + b ². Формулюють формулу квадрата суми так:

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

Піднесемо до квадрата суму 2 x + 3 y:

(2 x + 3 y)² = (2 х)² + 2 × 2 x × 3 y + (3 y)² = 4 х ² + 12 xy + 9 y ².

При піднесенні суми 2 x + 3 y до квадрата проміжні перетворення можна виконувати усно:

(2 x + 3 y)² = 4 х ² + 12 xy + 9 y ².

2. Квадрат різниці двох виразів. Піднесемо до квадрата різницю a - b:

(a - b)² = (a + (- b))² = a ² + 2 а (- b) + (- b)²= a ² - 2 ab + b ².

Отже, маємо таку формулу квадрата різниці:

(a - b)² = a ² - 2 ab + b ².

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів ще називають квадратом двочлена.

Квадрати протилежних чисел дорівнюють один одному: (- а)² = a ². Тому при піднесенні до квадрата виразів - a - b та - a + b можна користуватися формулами:

(- a - b)² = (a + b)² = a ² + 2 ab + b ²;

(- a + b)² = (a - b)² = a ² - 2 ab + b ².

Для тих, хто хоче знати більше

Щоб піднести суму або різницю двох виразів до куба, можна використовувати формули куба суми або куба різниці:

(a + b)³ = a ³ + 3 а ² b + 3 ab ² + b ³;

(a - b)³ = a ³ - 3 а ² b + 3 ab ² - b ³.

Виведемо ці формули.

1. (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a ² + 2 аb + b ²)=

= a ³ + 2 а ² b + ab ² + a ² b + 2 ab ² + b ³ = a ³ + 3 а ² b + 3 ab ² + b ³.

2. (a - b)³ = (a + (- b))³ = a ³ + 3 а ²(- b) + 3 a (- b)² + (- b)³ = a ³ - 3 а ² b + 3 ab ² - b ³.

Формулюють формулу куба суми так:

Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.

Формулу куба різниці формулюють аналогічно.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Піднести до квадрата вираз:

а) хy - 2 z ²; б) -3 m - n; в) - х + 5 у; г) a + b - c.

● а) (хy - 2 z ²)² = (хy)²- 2· хy ·2 z ² + (2 z ²)² = х ² y ²- 4 хyz ² + 4 z ⁴;

б) (-3 m - n)² = (–(3 m + n))² = (3 m + n)² = 9 m ² + 6 mn + n ²;

в) (- х + 5 у)² = (х - 5 у)² = х ² - 10 ху + 25 у ²;

г) (a + b - c)² = ((a + b)- c)² = (a + b)²- 2(a + b) c + c ² =

= a ² + 2 ab + b ² - 2 ac - 2 bc + c ². ●

Усно

571. Піднесіть до квадрата двочлен:

a) x + y; б) x - y; в) a + 1; г) a - 1.

Рівень А

Піднесіть до квадрата:

572. а) (k + n)²; б) (b + 2)²; в) (с - 4)²;

г) (3 + a)²; д) (5 - b)²; е) (a + 15)²;

є) (x - 0,5)²; ж) (1,2 - c)²; з) (n + 2,5)².

573. а) (b - c)²; б) (x + 4)²; в) (а - 2)²;

г) (3 - n)²; д) (0,3 + z)²; е) (1,5 - b)².

574. а) (2 a + 1)²; б) (2 с - 5)²; в) (3 - 4 a)²;

г) (4 c - 0,5)²; д) (2 b - 0,5 c)²; е) (5 х - 0,2)².

575. а) (3 b - 1)²; б) (5 z + 2)²; в) (6 а + b)²;

г) (4 x - 5 y)²; д) (0,3 a + 10 b)²; е) (8 b - 0,5)².

Спростіть вираз:

576. а) (a + 1)² + (a - 1)²; б) (b + 2)² -4(b + 1);

в) (5 - 2 x)² - 25 - 4 x ²; г) x ²- 1 - (x - 1)².

577. а) (4 - b)² + 8 b - b ²; б) (x + 2)² + (x - 2)².

Розв’яжіть рівняння:

578. а) (х + 2)²- х ² = 8; б) (x - 3)² - x ² = 21.

579. а) (x - 1)²- x ² = 11; б) (x + 4)² - x ² = 24.

Рівень Б

Піднесіть до квадрата:

580. а) (- b + c)²; б) (- x - y)²; в) (-2 а + 3)²;

г) (-4 x + 5 y)²; д) (-2 m - 10 n)²; е) (-2,5 а + 4)².

581. а) (- m - n)²; б) (- b + 5)²; в) (-3 x + y)²;

г) (-4 c - 3 d)²; д) (- k - 1,5)²; е) (-0,5 z + 2)².

Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

582. а) (y ² + 1)²; б) (2- х ³)²; в) (2 m - m ²)²;

г) (-4 a ² + a)²; д) (4 a ² - аc)²; е) (-4 a ² - 3 b)².

є) (- m ² - 0,5 nk)²; ж) з)

583. а) (a ² + 2)²; б) (2 b ³ - 4)²; в) (-2 x - x ²)²;

г) (-2 a ² + 5 аb)²; д) е)

Піднесіть до квадрата:

584. а) (а - b + 1)²; б) (3 с - 2 а + 3)²; в) (3 - x - 2 х ²)².

585. а) (2 - x + y)²; б) (-2 m + 1 - 3 n)²; в) (а ² + 5 а + 4)².

Доведіть тотожність:

586. а) (a + b)² - (a - b)² = 4 ab;

б) (2 xy)² + (x ² - y ²)² = (x ² + y ²)²;

в) (a + b + c)² = a ² + b ² + c ² + 2 ab + 2 ac + 2 bc.

587. а) (a + b)² + (a - b)² = 2(a ² + b ²);

б) (a - b + c)² = a ² + b ² + c ² - 2 ab + 2 ac - 2 bc.

Спростіть вираз:

588. а) (2 a - 1)² - (2 a + 1)²; б) (x ² + 1)² - x ²(x ² + 2);

в) (2 n - 1)² + (2 n)²+ (2 n + 1)²; г) (a + b - 4)² + 8(a + b - 2).

589. а) (- a + 2 b)² + (a + 2 b)²; б) (x ² - 3)² +(3 x - 1)(2 x + 9);

в) (а - b + 1)² - 2(1 - b)(1 + а).

Розв’яжіть рівняння:

590. а) (5 х + 4)²= (1 - 5 х)²; б) (3 x - 5)(3 x + 5) = 7 + (3 x - 4)²;

в) (2 y + 3)²- (4 у - 2)(у - 6) = 16; г) (3 x - 1)² + (4 x - 1)² = (5 x - 1)².

591. а) (2 x - 3)²- 3 = (2 x + 1)² - 11; б) 16 y ² - (4 у - 3)² = 15 y - 90;

в) 3(x - 1)² - (2 - x)(2 + x) = (2 x - 1)².

Рівень В

592. Піднесіть до куба:

а) (а + 1)³; б) (2 х - у)³; в) (3 m + 4 n)³.

593. Спростіть вираз:(a ¹⁰ - b ¹⁰)²(a ¹⁰ + b ¹⁰)² - (a ²⁰ + b ²⁰)².

594. Доведіть, що для кожного натурального значення n значення виразу (5 ⁿ + 2)² - 2(5 ⁿ + 2)(5 ⁿ - 2) + (5 ⁿ - 2)² ділиться на 16.

595. Доведіть, що вираз (x ²+ ху + y ²)² - (x + у)⁴ + 2 ху (x + у)² набуває лише невід’ємних значень.

596. Ціле число при діленні на 7 дає в остачі 3. Яку остачу при діленні на 7 дає квадрат цього числа?

597. Ціле число m не ділиться на 5. Доведіть, що число m ⁴ - 1 ділиться на 5.

598. Число а є квадратом деякого натурального числа. Чи може запис числа а закінчуватися двома шістками?