Постановка конкретной задачи

Пример. Пусть на заводе имеется большая партия из N (тысячи) транзисторов, используемых для сборки некоторого прибора. Выходные параметры прибора (например, надежность, уровень шума, вероятность выхода из режима и т.д.) зависят от обратных токов транзисторов; обратный ток у разных экземпляров различен, и потому можно считать его случайной величиной, причем, как известно технологам, распределённой равномерно в диапазоне от 0 до I _max, где I _max —порог отбраковки, установленный на заводе - изготовителе транзисторов. Следовательно, выходные параметры прибора определяются величиной I _max. Предположим, что по каким-либо причинам значение I _maxпроизводителю приборов неизвестно. Ясно, что в этом случае из партии нужно случайным выбором извлечь n (сравнительно немного: десятки) транзисторов, измерить их ток, и по измерениям оценить I _max (неизвестный параметр а). Таким образом, возникает

Статистическая задача: по наблюдениям x₁,..., x_n над случайной величиной C, распределённой равномерно на отрезке [0, a ], оценить неизвестный параметр a.

сравним три способа оценивания (три оценки):

оценку, полученную методом моментов,

â₁ = , (1)

оценку, полученную методом максимального правдоподобия (после исправления смещённости),

â₂ = max x_i (2)

и оценку, полученную методом порядковых статистик,

â ₃ = 2 _0.5 = x_(k) + x_(k+1), (3)

где _0.5 = — выборочная квантиль порядка 0.5, т.е. выборочная медиана; x_{(k )} — член вариационного ряда с номером k; здесь полагаем n = 2k. Точность этих оценок можно сравнить теоретически и экспериментально (статистически).

Замечание. Точность, однако, не является единственным критерием качества оценок. Весьма важно, например, свойство устойчивости оценки к изменению закона распределения или к засорению; в этом смысле, как оказывается, â ₃ — наиболее хороша, а â ₂ — наименее; действительно, пусть, например, в нашу выборку случайно попало наблюдение, резко превосходящее все остальные (в случае с партией триодов, попался триод, не прошедший отбраковку); значение оценки â ₂ резко изменится, значение â ₃ почти не изменится.