Решение. 1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)

Таблица 1.

Годы
					-31	-36
					-14	-17
						-5	-35
					-4	-3
					-21	-1
Итого		—		—
Средняя	266,6	—	260,7	—			—	283,6	248,8
Сигма	35,58	—	30,84	—	16,84	15,77	—	—	—
D	1265,84	—	951,41	—	283,60	248,80	—	—	—

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с₁, и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного: . С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,8935 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с₁ используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;

Выявлена тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 70,0% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 30% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

.

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а₁ и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии: ; , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты тесноты связи уровней составят: ; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 92,2% вариации экспорта.

Таблица 2.

Годы
Итого
Средняя	266,6	260,7
Сигма	35,58	30,84
D	1265,84	951,41

2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 70% детерминирован вариацией импорта. Фактический F -критерий равен 18,9. Это больше табличного (F _табл.= 5,32), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а₂ отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а₁ , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в четыре раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;

.

Уравнение имеет вид: . С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,895 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t) экспорт увеличивается в среднем за год на 2,65 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

; .

Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора Z и фактора t. То есть,