Гамма-функция

Биномиальная теорема определяет биномиальные коэффициенты через факториалы чисел n и k:

.

По сути, факториал является функцией аргумента n. Однако это дискретная (решетчатая) функция, определенная только при целых значениях аргумента n = 1, 2, … Поэтому формула (6.2) пригодна только для целых n.

Возникает вопрос: существует ли непрерывная функция непрерывного аргумента n, которая в частных случаях целого аргумента n = n равнялась бы ? На этот вопрос следует дать положительный ответ. Такая функция существует и называется она гамма-функцией (Г-функцией). Эта функция обладает свойством: . Ее график приведен на рис. 6.3.

Гамма-функция определяется с помощью интеграла Эйлера:

,

где n > 0.

При n £ 0 интеграл расходится. В этом интервале с помощью интеграла Эйлера гамма-функция не может быть определена. При n = 1 имеем:

.

Приняв в интеграле Эйлера x = t ², получим

.

Приравняв n = 1/2, имеем

.

Рис. 6.3. График гамма-функции

Применим к интегралу Эйлера формулу интегрирования по частям: , полагая ; ; ; .

.

Это основная формула приведения для Г-функции. Из нее следует, что

.

Применив эту формулу последовательно k раз, получим:

, (n – k > 0).

В математических справочниках значения гамма-функции обычно даются лишь для величин v, лежащих в диапазоне 1 < n < 2. чтобы найти значение Г-функции в другом диапазоне, нужно использовать приведенную формулу. Для нахождения Г(n) при n > 2 мы должны выбирать целое k > 0 таким образом, чтобы выполнялось условия: 1 £ n – k < 2.

Если n = n, где n > 0 – целое число, то

Г (n)=(n – 1)!

Применив формулу приведения для n = n + 1/2 и учитывая, что , получим

,

где (2 n – 1)!! = .

До сих пор мы считали, что аргумент n функции Г(n) больше нуля. Доопределим теперь функцию гамма для отрицательных значений аргумента. Учитывая формулу приведения, запишем:

.

Положим = n ^*, тогда

.

Обозначив в последней формуле n ^* снова через n, получим

.

Если n + k > 0 и … (k = 1, 2, 3,...), то правая часть формулы имеет смысл и при n < 0. Последнюю формулу принимают за определение гамма-функции при отрицательных значениях аргумента n. Очевидно, она не существуют при целых отрицательных значениях n (при таких значениях n она обращается в бесконечность).

Теперь мы можем обобщить биномиальную теорему на случай действительных (и даже комплексных чисел).

Теорема 6.2. Пусть – произвольное комплексное число. Тогда для любого комплексного числа , удовлетворяющего условию , справедливо

, (6.3)

где .

Пример 6.1. Приведем примеры некоторых биномиальных разложений, полученных с помощью формулы (6.3):