Приближённый метод исследования предельных циклов

Систему не линейных ДУ обычно можно привести к виду:

; . (4.13)

На интервале Т (период) для малых ε можно записать аппроксимацию решения (4.13), как линейного осциллятора:

(4.14)

Оценим изменение энергии в колебательном контуре вдоль фазовой траектории:

– энергия линейного осциллятора. Тогда будет:

после подставки значения из системы (4.13).Тогда изменение энергии за период будет:

.

Если амплитуда колебаний растёт, а если меньше, то убывает.

Уравнения Ван-Дер-Поля, запишем как систему ДУ:

.

Тогда . Используя (4.14) получим:

.

после интегрирования и подставке пределов.

В точке, где =0 – предельный цикл. Если , то он устойчивый, если , то не устойчивый.

В нашем случае, =0, при А=2.

Тогда в этой точке производная , т.е. предельный цикл уравнения (4.12) устойчивый.