Предельные циклы и автоколебания

В консервативных системах особые точки центр и седло. Фазовые траектории вблизи точки «центр» замкнутые и заполняют целые области на фазовой плоскости.

Существуют ли замкнутые траектории в неконсервативной системе?

Пример.

. Это координаты особой точки. После линеаризации системы в близи точки (0,0), получим характеристический полином и характеристические числа будут . Особая точка получается типа неустойчивый фокус.

Перейдём к полярной системе координат (для удобства анализа).

.

.

окружность. растёт. R уменьшается.

Замкнутая периодическая фазовая траектория в неконсервативной нелинейной системе ДУ называется предельным циклом.

Если при t → ∞ все фазовые траектории, начинаясь как внутри так и вне замкнутой траектории, стремятся к этой траектории, то такой предельный цикл называется устойчивым. На Рис.31(а) показана фазовые траектория на плоскости (x,y) для двух начальных условий (t0), заданных внутри и вне предельного цикла. На графике хорошо видно, что при t→∞ обе траектории стремятся к предельному циклу. На Рис.31(b) показаны эти же траектории на плоскости (x,t), (y,t).

Если фазовая траектория при начинается внутри предельного цикла и при , а при начальных условиях вне придельного цикла для , то предельный цикл будет не устойчивый. На Рис.31(c) показаны фазовые траектории для этого случая, а на Рис.31(d) зависимость координат x и y от t.

Рис.31. Предельные циклы

a),b) – устойчивый

c),d) – не устойчивый